微分方程能否像泰勒展开那样降阶和简化？

我们都知道，代数方程何以通过泰勒展开在某点展开，一阶近似就是只有x的一次方，这是条直线，后面再加一阶近似就是加上一个X平方项，这样直线打一个弯了，加几阶近似，就加上几个x多少次方项，曲线就多打几个弯。

代数的理论和微分方程是息息相关的，比如我们判断一个二阶偏微分方程的型，就用他的系数组成的代数矩阵来判断，看他是双曲的，椭圆的还是抛物的，代数有特征值，微分方程也有特征方向。

微分方程能不能如同代数表达式一样展开呢？

人们认识之初，总是用一阶微分方程近似某些规律，认识进化以后，四阶，六阶都层出不穷，但是有的时候，分析一些基本规律，还想退回来分析，比如使用特征线方法等？能不能把微分方程像泰勒展开一样分阶段近似呢？

     这个问题值得进一步深化，因为作为一个偏微分方程来说，他的展开和函数不一样，属于一种泛函范畴，既有方程本身的的展开，也有边界条件的展开，还有边界条件和方程混合起来的展开和近似，也有方程某个非线性系数的展开和简化。

   比如说空气动力学全速势方程组在v<<c情况下可以简化成小扰动方程，这个系数就变成了带有（1-M^2）因子的方程，这种方程的变化，其实可以用边界条件的X方向缩短，或者y方向加厚的变换来进一步简化，这样解一个拉普拉斯方程，加个尺缩变换就可以得到速度相对波速比较小的情况下的相对运动的结果。所以空气动力学家在低速风洞的实验就用这个变换得到高速的结果，这个变换在空气动力学不叫相对论的尺缩变换，叫做普朗特变换，变换后（能量）压力分布系数的结果和v/c的关系也不叫质能定律，而叫压力修正。

欧拉方程如何也能如此简化呢？问了很多空气动力学家，我们只好求助数学家。谁在专门从事这方面的枯燥研究？

或者有那本著作能够详述此类问题？