运筹学中的优选

葛维亚

       隶属运筹学范畴的最优化方法即优选法，是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益。

       从微积分学得知，对于一个研究系统（对象）可以建立y= f(x)的数学函数关系时，当满足一阶导数f`(x)=0，时，此时得出的y值为极值。极大或极小值，可用函数的增减性来判断，即利用求得极值后，在相应的x 值 (即优选法中的最优值) 左右附近随意选取两个 x值小于极值皆小于极值时，则此极值为极大值，皆大于极值时，则此极值为极小值。可是很多系统无法用的数学函数关系表达，因而也无法用的微积分学方法求得最优值。在这种情况下，形成了一门学科被称为最优化方法或优选法，也就是采用试算和逐步逼近的方法求得最优值。

        最优化方法一般包括变量、约束条件、优选区间、目标函数和精度要求等5要素:

1 ,变量：指最优化问题中待确定的某些量。变量可用表示，其中n 为维数，例如为n维变量。

2，       约束条件：指在求最优解时对变量的某些限制,包括技术上的约束、资源上的约束和时间上的约束等。列出的约束条件越接近实际系统，则所求得的系统最优解也就越接近实际最优解。约束条件可用 ，i=1, 2，…，m，m 表示约束条件数;或x∈R(R表示可行集合)。

3，       优选区间：根据实际情况确定x优选范围。

4，       目标函数：最优化有一定的评价标准。目标函数就是这种标准的数学描述，一般可用f(x)来表示，即。目标函数可以是系统功能的函数或费用的函数。它必须在满足规定的约束条件下达到最大或最小。

5，       精度要求：根据规范或实际情况确定。

这里以一维变量优选的黄金分割法为例，说明优选计算的方法。

黄金分割法优选计算

       在一维（即单因素）最优化方法中，黄金分割法（亦称0.618法）是最为流行的一种方法。首先根据问题的实际情况，确定变量及约束条件。而优选区间（   ）作为（0，1）看待，这个优选区间最优值的两个对比点为0.382和0.618。利用已经确定的目标函数公式， 计算着两个对比点的目标函数值，把标函数值不好的那个对比点靠边的那一段去掉， 此时剩下优选的一段长度为第一次优选区间（0，1）长度的0.618倍，用得出的目标函数值进行第二次优选，继而进行第3次，第4次，……….,第n次优选。当第n次优选满足精度要求，即相对误差为δ时（δ根据规范或实际情况决定）， 第n次优选所得到的极值就是最优值。

        其实在优选之前，根据下式，由δ 就可以推求出n值：

由上式计算可知，优选计算3次，相对精度为91.0%，优选计算5次，相对精度为96.6%。这一方法采用手算，也不费时费力。当然也可以编写电脑程序进行计算。