土壤结构数学模型的建立和土壤渗透率公式

李长宝太史怀远

（吉林省水土保持科学研究院，吉林长春 130033）

摘要  在土壤球模型和柱模型的基础上构建了土壤结构的数学模型，基于模型提出土壤渗透率的理论计算方法。通过6h双环定压渗透实验的实验值和理论值对照、土壤渗透率变化规律实验等一系列验证工作，证明土壤结构数学模型代表了真实土壤的结构特性。为了便于应用，制成了土壤物理参数计算机软件，只要输入土粒密度、土壤容重、颗粒大小和百分含量，就可以得到土壤渗透率、孔隙半径与土粒半径的系数、透水土粒占全部土粒的百分数等一系列土壤物理性能参数。

关键词  土壤结构数学模型；土壤结构参数；计算机软件

中图分类号s152.4        文献标识码   A

The soil structure model and calculation of soilpermeability

Li Changbao  Taishi Huaiyuan

(Jinlin Academy of Soil and Water Conservation,Changchun, JIlin, 130000)

Abstract :The mathematical model of soil structure wasestablished on the basis of sphere and column model of soil formation; and theformula about soil permeability theoretical calculations was proposed. Thissoil structure mathematical model can be used to interpreting a real soilstructural characteristics, through a series of validation experiments such ascomparing calculated value with experiment value, soil permeability variation.In order to facilitate the application, soil physical parameters of thecomputer software was represented. When the parameters were entered such as theparticle density, bulk density, particle size and percentage, the soilpermeability coefficient, pore radius and particle radius, the ratio permeablesoil particles with soil particles et.al. series parameters would obtained.

Key Words: mathematical model of soil structure,structural parameters of soil, software

土壤的渗透性是土壤重要的物理性质之一，受土壤质地等因素的影响；土壤渗透性一般采用实地测定的方法得到。通过几次土壤普查，积累了大量的土壤基础数据，利用这些数据估算土壤的渗透性具有重要的实际价值。本文希望利用土壤结构数学模型，为进一步认识土壤的结构特征和估算土壤的渗透性提供依据。

1. 土壤结构数学模型

1.1土壤结构数学模型

罗戴在《土壤水》一书中用“理想土壤’描述土壤结构［1］［6］，认为土壤由大小相同的球组成。在“理想土壤”基础上，我们建立了土壤3维结构的球模型，球模型中土壤由不同直径的球组成，土壤孔隙由不同直径的孔球组成，我们假设一个球一个孔隙，相同

径级的土球相切形成孔隙，不同径级的土球不能形成孔隙。对于2维结构的空间由体积不同的圆土柱和圆孔管构成的土壤结构模型，我们称为柱模型，在2维结构也就是平面结构时对土壤进行讨论应用柱模型，我们假设相同径级的土柱相切形成孔隙，不同径级的土柱不能形成孔隙，一个土柱一个孔隙，土柱和孔隙高度相等。图1为6个土柱相切形成的一个孔隙的示意图［3］。

用内切圆的半径R做为有效孔隙半径。由图1可知：

﹙1﹚

式（1）是单个孔隙(指有效孔隙，下同)半径R和相应土壤颗粒半径r的关系式。从土壤孔隙度定义可知：

（2）

图1. 土柱和孔隙的数量关系

Figure1. The Schematicdiagram of soil solid particles and pore in soil structural model

                             (3)

                           (4)

式（4）是土壤颗粒按3式、4式、5式、6式形成孔隙时计算孔隙度的公式。土柱本身也按上述规则形成2级孔隙，记作33式、44式、55式……，只有1级孔隙的土粒为单粒，具有2级孔隙的土粒为团粒。用式﹙1﹚和式﹙4﹚计算的各种孔隙形式形成的孔隙度和有效孔隙半径与土柱半径之间的系数﹙csc﹚如表1

1.2柱模型土壤结构理论值

柱模型选用4式、45式、55式3种孔隙形式作为组合因子。每种组合类型都有确定的孔隙度K%，计算方式见式（5），孔隙度范围21.4603%～65.0112%。

（5）

式中：ε—单粒百分含量；δ—团粒百分含量；β—55式团粒百分含量；γ—45式团粒

表1. 各种孔隙形式孔隙度﹙csc﹚理论值

Table 1. Theoretical value ofporosity for different pore formation

百分含量。当采用2%的百分含量作为间距，柱模型土壤结构理论值等值线见表1，利用式(5)和式﹙6﹚可以作出任意百分含量为间距的土壤结构理论值（附表）。经过实验证明，以2%的百分含量作为间距制成的土壤结构理论值（附表），可以满足试验精度的要求。

实际应用时，按土层土粒密度和土壤容重计算孔隙度，土壤结构理论值（附表）所列各种组合类型中，必有一个组合类型的孔隙度与实测土层孔隙度相同或之差最小，利用这个组合的β%、δ%、γ%、ε%值，计算出A值。

A=0.4142﹙ε%+δ%γ%﹚+0.7013δ%β%﹚﹙6﹚

2土壤结构参数

2.1孔隙半径R与土粒半径r的比例系数A

孔隙半径R与土粒半径r的比例系数A是土壤结构最重要的参数。A的大小能够反映土壤松紧程度，反映土壤中团粒结构的多少，反映土壤渗透率的大小。A越大说明土壤通透性好，团粒结构多，土壤渗透率大，否则相反。A的主要用途如下：

①确定水流距离I与路程L的数量关系。

②确定大土粒形成的大孔隙被小土粒填实的大土粒数量。

③确定某一个径级土粒形成的孔隙数量。

2. 2大土粒形成的大孔隙被小土粒填实的大土粒数量

土壤颗粒组成分析资料给出了土粒大小和百分含量，并不是所有土粒形成的孔隙均透水，小于0.01mm的土粒形成的孔隙渗入量很小，可以忽略不计。研究表明较大土粒形成的孔隙自然状态下被小土粒填实而不透水，因而不能按这些孔隙的大小计算渗透量。透水土粒数量的确定是研究土壤渗透规律的关键。由土壤结构理论值附表中可以看出，百分之百的团粒结构形成土壤孔隙度最大值，研究表明,土壤容重变大的主要原因是由于大土粒形成的孔隙被小土粒填实造成的，土壤孔隙度最大值K_max与实测土壤孔隙度K%之差就是大土粒形成的大孔隙被小土粒填实的大土粒数量。用λ_ij代表透水土粒数量占全部土粒的百分数，则： $\lambda _{ij}=\frac{k}{k_{max}}\times 100" style="font-family:'times new roman', serif;line-height:110%;text-align:right;text-indent:28px;$                                           (7)

K_max—百分之百的团粒结构孔隙度最大值；K—实测土壤孔隙度百分数。实际应用时，按土层土粒密度和土壤容重计算孔隙度，土壤结构理论值附表所列各种组合类型中，

表2 土壤结构理论值等值线表

Table2The contours of theoretical values for soil structure

注：实际应用时，采用2%组距的表。——为A值等值线。

必有一个组合类型的孔隙度与实测土层孔隙度相同或之差最小，利用这个组合的β%、δ%、γ%、ε%值，计算出A值，在百分之百的团粒结构一行栏目中，与计算出的A值相同这个组合对应的土壤孔隙度就是K_max。

2.3全部透水土粒形成的孔隙数量和水流距离l与路程L的数量关系

由于R=Ar，可以得到（8）和（9）式： $N=\sum_{i=1}^{n}\frac{k\lambda _{i}}{\pi R^{2}10000{}}$ （8） $L=l\frac{A+0.5\pi }{A+1}$ （9）

式中:N-全部透水土粒形成的孔隙数量；L-水流在土壤中流过的路程，l-水流距离。

3土壤渗透率公式

3.1毛细管水流流量［5］

利用球模型，进一步考虑液体水沿着毛细管流动的情况，水柱在外力F的作用下，以平均速度在孔隙通道中流动；当水从土球顶部流到底部时，水平移动的距离为零，垂直距离为土球直径d，因而只研究水垂直流速。用的均方根表示的有效值_y，则：

（10）

当水流开始从土球顶部流到土球的底部时，t₁=0，t₂=T=，代入﹙9﹚式得：

（11）

水流通过单个弯曲的毛细孔管的流量为

                                   （12）

3.2土壤渗透率计算

某一个径级的土粒形成的孔隙流量Q_i为单孔流量Q_y与孔隙数N_i之积，全部径级总流量Q_n为各个径级流量之和，即

（13）

当静水压力H=125px时，相当于250px高的水柱移动250px的距离，即l=250px，将式﹙13﹚所得cm³.s^-1除以单位面积再乘以10转化为mm.s^-1时，则得式﹙14﹚的土壤渗透率计算公式。

（14）

式中：A—土粒半径与孔隙半径的比例系数；m—水的质量，m=V，对于单位面积的土壤，常温条件下，水的密度可以作为1处理，这样一来，水的质量m就与静水压力高度H在数值上相等；g—981cm·s^-2重力加速度；K%—实测土壤孔隙度；—水的运动黏性系数，水温10℃时,=0.0131cm²·s^-1；—3.14159，圆周率；d_i—透水土粒直径(cm)，用土粒径级中值表示；%—透水土粒百分含量。

4土壤渗透率公式的验证

采用双环定压入渗法［7］测定了8种的土壤6小时渗透率变化曲线、平均渗透率和稳渗渗透率。每种土壤沿剖面250px为一层，从上到下连续分层取样，测定土壤不同层次的土粒密度、土壤容重、颗粒大小和百分含量，利用土壤渗透率公式计算各个土层的渗透率数值，绘制土壤渗透率理论曲线，确定稳渗渗透率；稳渗渗透率由土壤剖面最小渗透率土层决定。实验值和理论值对照如表3、表4和图2。

表3 实测土壤渗透率与理论值

Table 3. The comparing measuredand theoretical values of soil permeability

表4﹑土壤容重﹑颗粒大小和百分含量与土壤渗透率理论

Table 4. The soil bulky density,particle size and percent, and calculated values of soil permeability

图2渗透实验曲线与理论曲线对照

Figure 2 The measured and calculated values of soil infiltrationcurve

表5是土壤压载负荷实验，从中可以看出随着压力的增加，土壤容重变大，土壤孔隙度K%变小，但是土壤渗透率变化尺度远远大于容重和孔隙度的变化；自然状态下的土样土壤渗透率分别与施加压力下的土样土壤渗透率相比相差几十倍至几万倍。实验结果表明土壤颗粒在运动中需要克服摩擦力而作功，而摩擦力与比表面积成正比，较大土壤颗粒的比表面积小，较小的土壤颗粒的比表面积大，对于同样质量的土壤颗粒，较大土壤颗粒移动需要较小的力，较小土壤颗粒移动需要较大的力。随着压力的增加，土壤颗粒移动的方向是从大逐渐向小，这就充分说明土壤渗透率由高到低的巨大变化,主要是土壤颗粒在压力作用下，按由大到小的顺序逐级向较大孔隙填实的结果，这就合理地解释了土壤渗透率变化幅度巨大的根本原因。

5结论

土壤渗透率与外力大小成正比，与圆管半径是一种二次抛物线关系，与水的黏滞度系数成反比［4］。土壤渗透率公式在这几个相关因素的研究结果与前人的结论是一致的［8］。本文提出的土壤渗透率公式进一步阐述了渗透率与有效土粒质量百分含量、土粒密度成正比，与土壤容重成反比，与土粒孔隙之间的比例系数A、有效土粒粒径是典型的2幂函数的关系。土壤渗透率公式反映了液体水在真实土壤中流动的客观规律，说明应用土壤结构数学模型得到的这几个参数客观地反映了真实土壤结构特性。不同土壤剖面、同一土壤剖面不同土层土壤渗透率不同，而且同一个土层因大土粒形成的孔隙会被小土粒逐级充填而发生巨大的变化。通过土壤结构理论值附表可以准确计算大土粒形成的孔隙会被小土粒逐级充填的数量，解决了土壤渗透率公式应用于真实土壤的关键问题。为了解决土壤结构的8 项参数计算程序多而且繁琐的问题，我们制成土壤物理参数计算机软件（光盘）；把只要把土壤容重、土粒密度、颗粒大小的百分含量输人相关空格，点击计算，就可以得到土壤结构的8 项参数；解决了科研和生产中的应用问题。

表5 土壤渗透率压力实验

Table 5. Soil permeability under different press loads

参考文献

[1]  А﹒А﹒罗戴﹒1964.土壤水﹒北京：科学出版社.Beijing: Science Press

[2]  同济大学数学教研室﹒1978.高等数学﹒上海：人民教育出版社.The Mathematics Department of TongjiUniversityHigher mathematics, Shanghai 1978, people's Education Press

[3]  и﹒А﹒恰尔内﹒1982.地下水-气动力学﹒北京：石油工业出版社.1982 water - gas dynamicsBeijing: PetroleumIndustry Press

[4]西南交通大学水力学教研室﹒1986.水力学．北京：高等教育出版社.Southwest Jiao Tong University Department of hydraulics 1986 Beijing, higher education press

[5]顾慰慈﹒2000﹒渗透计算原理及应用﹒北京：中国建材工业出版社.Gu Weici · 2000 · permeability calculation principle and application.Beijing: Chinese Building Materials Industry Press

[6]杨文治﹒2000﹒黄土高原土壤水分研究﹒北京：科学出版社﹒Yang Wenzhi, 2000,study on soil moisture in Loess Plateau. Beijing: Science Press

[7]陈立新﹒2005﹒土壤实验实习教程﹒哈尔滨：东北林业大学出版社﹒Chen Lixin · 2005 ·soil experiment practice tutorial. Harbin: Northeast Forestry University press

[8]邵明安﹒2006﹒土壤物理学﹒北京：中国林业出版社﹒ShaoMingan, 2006, soil physics, Beijing: Forestry Chinese · press

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吉林省水土流失规律科研项目

作者简介：李长宝，工程师，长期从事土壤物理及防水材料的研究. 电话：010-89557350E-mail:dapingfangshui@126.com