蜗牛角上争何事，石火光中寄此身

2016年8月24日，欧洲天文学家在Nature杂志上发表封面文章，宣布比邻星有一颗类地行星。

比邻星（Proxima Centauri）是离太阳系最近的恒星，离我们大约有4.2光年。这篇Nature文章说，比邻星有一颗类地行星（被命名为Proxima b），它有可能处于“宜居带”内，也就是说，理论推测的行星表面温度可能使水保持液态。

大新闻！自20世纪90年代首次发现了太阳系外的行星以来，越来越多的系外行星被发现，但是它们与地球的差别都很大，它们通常都非常重、非常大，而且温度要么太热、要么太冷，不大可能有我们熟悉的生命形式存在，更不可能让人类生存。这次发现的这颗类地行星，不仅大小与地球相仿，而且到它的太阳的距离比较合适，理论推测其表面温度有可能让水保持液态。当然，这颗行星上到底有没有水、有没有空气，都还是未知数，但是已经很让人激动了。

一、发现的具体内容

总结一下这次发现的内容吧。

比邻星是距离太阳系最近的恒星，到我们的距离是4.2光年。它是一颗红矮星（Red Dwarf），直径大约是太阳的14%，质量大约是太阳的12%，表面温度是3050K（大约2800摄氏度，太阳表面温度大约是5500摄氏度）。这些都是早就知道的信息。

这次的主要测量结果是，比邻星这颗恒星周期性地朝着我们前进或后退，这个周期是11.2天，运动速度大约是每小时5公里。

由此推断出来，这颗行星的质量大约是地球的1.3倍，它到比邻星的距离大约是700万公里，也就是地球到太阳距离的5%。由此可以进一步推断行星表面的温度。关于这颗行星可能处在“宜居带”的话，其实也是从这些数据里推断出来的。Nature文章进一步讨论的它究竟宜居与否面临的几个问题，潮汐锁定、恒星磁场、恒星耀斑和高能辐射的影响，其实都是推断。关键数据就一个：比邻星这颗恒星周期性地朝着我们前进或后退，这个周期是11.2天，运动速度大约是每小时5公里。

Planet Found in Habitable Zone Around Nearest Star

http://www.eso.org/public/news/eso1629/

二、物理知识

接下来谈谈这些数据是怎么得到的。下面只用了大学普通物理的知识。

比邻星到我们的距离可以用三角法来测量。在相距为d的两个位置A和B，看一个遥远的物体，会有一个视差角$\alpha$（实际上这就是AB对C的张角，通常$\alpha \ll 1$），那么C到A（或B）的距离就是$d / \alpha $。选择A和B作为地球公转轨道上的两点，测量比邻星在天球上的位置，冬天测一次（A），夏天测一次（B），AB的距离就是地球公转轨道直径，大约是1000秒光程，比邻星的视差大约是1.6角秒，这样就可以得到，比邻星到我们的距离是4.2光年。1.6角秒是个很小的角度，但还是可以测量的。至于说地球到太阳的距离，以前也是用三角法测量的（更精确的测量方法是雷达回声法）。

比邻星的温度和大小，可以用光谱法测量。测量比邻星的光谱，也就是光的能量对波长的依赖关系，再根据普朗克的黑体辐射定律，就可以得到比邻星的温度了，大约3050K。根据单位面积收集到的比邻星星光的总能量，再根据比邻星到太阳的距离，就可以得到它每秒钟辐射出来总能量，而表面温度决定了单位面积的辐射功率，这样就可以得到比邻星的直径了。顺便说一下，也有光学方法（HBT）可以直接地测量恒星的角直径，再乘以恒星到地球的距离，就是恒星的致敬了。

比邻星的质量，好像不能用大学普通物理的方法得到。如果有伴星的话，利用其轨道运动可以确定恒星质量。然而，离比邻星最近的南门二（双星系统）在0.1光年以外，帮不上什么忙。但是，根据比邻星的大小和温度，应该可以用恒星模型计算出来它的质量，因为它也是靠星体内的核反应来发光的。

三、寻找行星的方法

寻找太阳系外的行星，主要有两种方法，凌星法和径向速度法。

凌星法的原理是，行星围绕恒星转动，如果其转动面碰巧与我们的视线偏离不太远，那么它就会在一段时间内挡住恒星的一部分光。因为行星比恒星小得多，离恒星很远，离我们则更加远得多，所以行星遮挡恒星的几率是非常小的，大致是$2R/\pi a$，其中，$R$是恒星的半径，$a$是行星到恒星的距离。即使行星的运行轨迹碰巧可以与视线交叉，那也只能挡住很小的一部分光，因为行星比恒星小得多，遮光比例大约是$r^2/R^2$，其中$r$是行星半径。Nature文章也尝试过用凌星法探测比邻星，但是没有看到任何信号。根据他们用径向速度法得到的数据，他们估计了Proxima b 遮挡比邻星的几率大约是1.5%，遮光的比例为0.5%，而研究者只能看到5%的光度变化，所以没看到也很正常：很可能是这颗行星压根没有遮挡我们的视线，也可能是遮挡的光太少了、测不到。

径向速度法测量的是，恒星在我们视线方向上的运动速度的变化，我们是圆心，恒星位于天球上，视线就是半径，所以这种方法就成为径向速度法。因为恒星离我们非常远，至少也有几个光年，所以圆心选在我们、地球还是太阳，根本就无关紧要。恒星的运动速度为什么会在径向上发生变化呢？因为有行星绕着它转动。恒星和行星这两个家伙之间有引力，引力使得行星绕着恒星转。因为行星的质量不为零，所以严格地说，行星绕着转的是恒星和行星的质心，恒星也绕着这个质心转动，只不过转得慢一些就是了。恒星的转动速度大约是$mv/M$，其中，$v$是行星的转动速度，$m$和$M$分别是行星和恒星的质量。因为恒星做圆周运动，它的速度在视线方向上的投影（也就是径向速度）就会发生周期性的变化，我们的目标就是测量这个变化。怎么测呢？可以采用多普勒效应。等一会儿我们再说具体的测量方法。

由于恒星与行星之间的万有引力，恒星的径向速度就会发生周期性的变化。测量这个变化的幅度和周期，就可以得到行星的很多信息。径向速度的周期就是行星的公转周期，由此可以得到行星到恒星的距离，这就是著名的开普勒第三定律，$d^3/t^2 \propto M$，其中$d$是行星到恒星的距离，$t$是行星公转周期，$M$是恒星质量。公式的推导也很简单：对于圆轨道，中学物理知识就够了，圆周运动所需要的向心力等于万有引力，考虑 $mv^2/d=GMm/d^2$ 以及$v=2\pi d/t$ 就可以了；对于椭圆轨道，稍微复杂一些，但是大学普通物理知识肯定是足够的，我就不多说了。对于比邻星来说，其质量为太阳的14%，径向速度的周期是11.2天，这样就可以得到行星的轨道半径，大约是700万公里、地球到太阳距离的5%。同时还可以得到行星的轨道速度，然后再根据横行径向速度的大小，就可以得到行星的质量了。这次测量比邻星的径向速度大约是1.4米每秒钟，也就是每小时5公里，由此得到行星Proxima b的质量是地球的1.3倍。知道了行星的质量和它到恒星的距离，就可以探讨它所处的环境是否适合人类居住了（是否处在“宜居带”了）。由于时间关系，我们就不多说了：行星表面的温度和潮汐锁定的问题，比较简单、可以用大学普通物理的知识讲明白；恒星磁场、恒星耀斑和高能辐射的影响，比较困难，无法用大学普通物理的知识讲明白，因为这些都要涉及到恒星模型。

四、再说说径向速度法

具体讲一讲径向速度法到底是怎么测量的。

首先介绍一下多普勒效应。多普勒效应与波源的运动有关，探测波的起伏宛若感慨人生的际遇。当波源朝着观测者运动的时候，观测到的波的频率就增大；当波源离开观测者运动的时候，观测到的波的频率就减小。频率的变化量$\delta f $依赖于波源的速度$\delta v$与波的传播速度$v_0$之比，$\delta f /f_0  \propto  \delta v/v_0$，其中$f_0$是波源本身的频率 。以前最爱讲的例子就是火车鸣笛了，朝着你开来的火车，笛声尖锐（频率高）；离开你远去的火车，笛声低缓（频率低），“汽笛一声肠已断，从此天涯孤旅”。可惜现在都是高铁了，都不怎么鸣笛了，开起来的动静也不大。

声音是波，光也是波，它们都有多普勒效应。最大的差别在于各自的传播速度。声音在空气中的速度大约是每秒钟三百米，而光在真空中的速度是每秒钟三十万公里。如果波源运动的速度是1米每秒，那么声音频率的相对变化就是$3\times 10^{-3}$，而光频率的变化却只有$3\times 10^{-9}$。具体的探测方法仍然是测量光谱，在不同的时刻测量光谱，观测光谱随着时间的偏移。如果光源朝着我们运动，我们看到的光频率就会略微增加（所谓的“兰移”）；如果光源离开我们，光频率就会略微减小（“红移”）。这些偏移量就反映了径向速度的变化。补充一句，这些速度变化必须是沿着视线方向才可以，垂直于视线方向的运动是感受不到的，这就是为什么叫作径向速度法的原因。如果行星轨道平面碰巧垂直于视线方向，你就什么也测不到了——当然你通常不会这么倒霉就是了。严格地说，测量得到的结果还包含了一个系数$\cos i$，其中$i$是行星轨道平面与视线方向的夹角。另外，不用担心地球和比邻星的直线运动速度，虽然它们的速度很快，每秒钟几十公里甚至更多，但是这些都是不会在短时间内变化的，只是把光谱平移了一点而已。

道理很简单，做起来很难。远处的星光很弱，你把它们收集起来，仔细地进行光谱测量。这需要以下设备（“光谱测量系统”）：大口径的天文望远镜，尽可能多地收集星光，这个工作采用的是3.6米口径；狭缝和小孔，用来选择出你想要观测的那颗星星；光栅或棱镜，把不同波长的光分解到空间的不同位置上；灵敏的探测器，高效率、低噪音地把光信号转化为电信号，这里采用的是4Kx2K的CCD相机，也就是说，大约有1000万个像素（可以是每个像素对应于不同的波长，也可以是每列像素对应于不同的波长，这个工作的具体情况不是很清楚，好像是前者）。因为需要测量的光谱很弱、变化程度很小，光谱测量系统必须非常稳定，必须采用以下措施：优异的隔振性能；抽真空、保持恒温；自校准系统，保证每个像素对应的波长是确定的，不会随着时间和外界条件而变化，可以采用标准吸收谱或者光梳的方法；CCD的暗计数很低（没有光就没有读数），每个像素的光电特性都标定好了，能够长时间累计信号，这个工作（其中的HARPS部分）的积分时间是1200秒，也就是20分钟。只有做到了这些，再加上精巧的算法，才可能把径向速度的探测精度达到1米每秒，才能够有把握地测量每小时5公里的径向速度。

五、径向速度法的误差估计

下面带入数字来估算一下这个光谱测量系统的理论分辨本领。目标是能够分辨每秒钟1米的径向速度，光谱的平均偏移是$3\times 10^{-9}$。

太阳常数是地球附近1平方米上的太阳光功率，大约是 $1.4 kW/m^2$；太阳到地球距离 500光秒；比邻星到地球距离约4.2光年；比邻星的亮度为太阳的0.0015；1200秒的积分时间；望远镜直径为3.6米；假定大气吸收、探测器效率和响应波长范围、各种镜面损耗的总影响为50%；那么，一次成像（20分钟）能够收集到的比邻星星光的总能量为

$0.5\times 3.6^2\times (0.0015\times 1.4 \times 10^3 \times 1.2\times 10^3) / (86400 \times 365 \times 4.2/500) ^2 = 2.3 \times 10^{-7}J$

因为比邻星的温度大约是3000K，对应的峰值波长在900nm左右，所以，这些能量对应的光子数为

$2.3\times 10^{-7} J/(1.4\times 1.6\times 10^{-19}J) = 1\times 10^{12}$

严格地说，光谱由黑体辐射定律决定，但为了估计方便，可以认为这些光谱大致均匀地分布在可见光和近红外区间（400-1100nm，大概是CCD探测器的光谱响应区间了）。

所有的信息都隐藏在这$ 10^{12}$个光子里了。光谱探测过程可以认为是泊松随机过程，方差就是$10^{6}$。简单地想，一次测量与平均值的偏差应该是$10^{-6}$，分辨本领也就只能是$10^{-6}$，远远小于目标的$3\times 10^{-9}$。还有哪些因素没有考虑呢？真实光谱是黑体辐射分布，峰值在900nm附近的宽包状分布，这可能会带来2倍的改进；可以用整个晚上来测量光谱，而不仅仅是20分钟，这样就会有5-6倍的改善（测量时间延长到8-12个小时，这样就会有24-36次测量，信噪比与测量次数的平方根成正比。）这样下来，可以有10倍的改善，但离目标还有大约30倍的距离。而且，我不知道他们到底每晚测量20分钟还是10小时，文章里写得不是很明白。

这种简单估计的理论测量极限是$1\times 10^{-7}$，而目标为$3\times 10^{-9}$，差了大约30倍。作者采用的不是这种简单估计，而是采用了统计模型和方法，而且是两种不同的方法，频率学派（frequentist）和贝叶斯学派（Bayesian）的方法。我不知道他们是怎么做到的，也就不介绍了。

如果简单地把400-1100nm的谱线平均分配到1千万（4Kx2K）个像素上，那么1米每秒的径向速度对应于1/300个像素，分辨起来确实挺难的。从另一个角度考虑，如果比邻星表面温度略有起伏，黑体辐射谱线也会漂移，1米每秒的径向速度大约对应于10万分之一的温度变化，而光通量的测量表明了百分之几左右的每日涨落，应该是为分辨增加了很多困难。

如果被测量的恒星比较亮，测量的困难就会少很多。显然，信噪比跟恒星亮度的平方根成正比。可惜，比邻星还是有些暗了。

六、结论

欧洲天文学家通过多年的观测（特别是今年年初两个多月的HARPS精密测量），利用统计模型分析观测结果，发现比邻星（离我们最近的恒星）的径向速度有周期性的变化，变化周期大约为11.2天，变化幅度大约为每小时5公里（每秒钟1.4米）。根据这些数据，他们推断出比邻星有个行星，质量为地球的1.3倍，公转轨道半径大约是日地距离的5%。他们还推断出很多其他性质，比如说，这颗恒星有可能处于“宜居带”里。

最后，再随便说两句。

大学普通物理知识很重要。只要知道些简单的大学普通物理知识，就可以知道世界前沿的科学家们在做什么、他们是怎么做的。

任何恒星离我们都太远了，即使比邻星也太远了。不管那里有没有宜居行星，其实都跟我们没有任何关系；不管费米悖论到底意味着什么，其实也跟我们没有关系。

地球是人类的唯一家园，暗淡蓝星（pale blue dot）是我们的唯一希望所在，月亮不是，火星不是，暗淡红星（pale red dot）更不是。我们必须爱护地球，保护地球脆弱的生存环境，如果人类自己作死，那么暗淡红星不在乎，地球也不在乎：对于地球来说，人类不过是癣疥之疾，根本就无关紧要的。

至于我们每个人的个人命运，当然就更加无足挂齿了。

人生不满百，常怀千岁忧。

A terrestrial planet candidate in a temperate orbit around Proxima Centauri

A. Anglada-Escude, et. al., Nature, 536, 437(2016)

研究揭示一颗类地行星环绕比邻星旋转

http://www.cutech.edu.cn/cn/gwkj/2016/08/1472092223480439.htm

如何看待「离太阳系最近的比邻星发现宜居类地行星，可能还有水」？

https://www.zhihu.com/question/49699998

欧洲南方天文台

http://www.eso.org/

Planet Found in Habitable Zone Around Nearest Star

http://www.eso.org/public/news/eso1629/

太阳系外行星

http://baike.baidu.com/view/558597.htm