摩擦力是我们很熟悉的现象，我们走路时不摔跟斗，就是因为摩擦力。

摩擦力的公式也不难，中学物理就讲过：摩擦力等于压力乘以摩擦系数，$f=\mu N$。

也许你还解释过“蚂蚁推大象”的初中物理题：一只大象站在光滑的冰面上，一只小蚂蚁就可以推动他，为什么？这大概是我们遇到过的第一个“理想实验”了：听话的大象，无摩擦的冰面，强壮的蚂蚁，还有煞费苦心地把他们凑在一起的老师——为了给我们讲解摩擦力（也许还有动量守恒），老师真是够拼的了。

还有一道初中物理题，也许你也做过：把两本书的书页交叉叠放在一起，就很难拉开，为什么？回答：因为拉书时书页之间会产生很大的摩擦力。可是，你有没有想过，这时候的摩擦力怎么会大得连你都拉不开呢？它的来源到底是什么呢？

这个问题，不管你想过没想过，反正我是没想过，也没有见过谁解释过——直到前几天我看了一篇《物理学评论快报》的文章，几位法国科学家解释了这个现象，不仅是定性地解释，也不仅是定量地解释，还做了实验，甚至用两本书页交叉的电话簿吊起了一辆小汽车。

中学物理告诉我们，摩擦力等于压力乘以摩擦系数，$f=\mu N$。摩擦系数依赖于物体表面的粗糙程度，可是同一本书里，书页的粗糙程度是差不多的，这帮不上什么忙。摩擦系数还依赖于物体的接触面积，书页交叉增大了接触面积，这有些帮助，但是还不够：把两张一开的纸叠在一起，你从两头拉它们，应该还是可以拉开的；把这两张纸裁成两组16开的纸，交叉在一起、再从两头拉，你就很难拉开了。更重要的是，压力从哪里来呢？单靠书本身的重量，肯定是不够的了。

法国的几位科学家很漂亮地解决了这个问题（附录1）。一本书的书页是平行的，把两本书的书页交叉叠放以后，交叠的部分当然还是平行的，但是，在交叠区和每本书的书脊之间，书页必然有一部分是倾斜的，书页的拉力也就会在交叠区产生垂直于交叠面的分量，这个分量就是产生摩擦力所需要的压力。更重要的是，在交叠区，上面的书页受到的压力，必然会传递到下面的书页上，压力就被多次使用了，交叠的书页越多，再利用的压力也就越多，摩擦力对交叠书页数目有强烈的非线性依赖关系。也就是说，对于书页交叉的两本书，拉力产生压力，压力多次复用，从而造成足够大的摩擦力。

上面是定性的解释，给出了清楚的物理图像。定量解释也不难，仅仅用到了中学物理的受力分析，在加上一点点的大学生数学（数列求和或者是常微分方程）的知识，就可以了。我觉得它值得放到大学《普通物理》教材中去，作为一道漂亮的习题，甚至可以给它一小节内容。在博文中讨论它，恐怕有些过分了，我还是把它放到附录里去吧。

法国科学家不仅仅做了这些分析，他们还做了细致的实验，检验了其模型的可靠性。当然，结果不出意外地符合了他们的分析。 在他们回答问题的网页上，还给出了很有感染力的照片：书页交叉的两本电话簿，可以吊起小汽车（附录2）。

谁能想到呢：一道普通的中学物理题（附录3），竟然蕴含了这么有意思的物理——而且并没有任何超出大学二年级学生理解力的内容。

附录1 《物理学评论快报》 文章

Self-Amplification of Solid Friction in Interleaved Assemblies

Héctor Alarcón, Thomas Salez, Christophe Poulard, Jean-Francis Bloch, Élie Raphaël, Kari Dalnoki-Veress, and Frédéric Restagno

Phys. Rev. Lett. 116, 015502 – Published 7 January 2016

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.116.015502

附录2 书页交叉的两本电话簿，可以吊起小汽车（作者网页上提供的照片）

注意：靠近书脊的部分，必须用铁夹子夹住，否则，书就会散掉，无法提供足够的侧向压力。铁夹子离交叠区还有一定的距离。

https://www.universite-paris-saclay.fr/fr/actualite/comment-soulever-une-voiture-avec-deux-annuaires

附录3 中学物理题

如图所示，两本书的书页交叉叠放在一起后很难拉开，是因为拉书时书页间会产生较大的（　　）

A．重力  B．弹力  C．压力  D．摩擦力

http://www.mofangge.com/html/qDetail/04/c0/201310/ngxdc004206767.html

附录4 定量分析（Phys. Rev. Lett. 116, 015502）

下面的分析基本上沿用原作者的思路。

注意：靠近书脊的部分，必须用铁夹子夹住，否则，书就会散掉，无法提供足够的侧向压力。铁夹子离交叠区还有一定的距离。铁夹子夹住的部分，称为书脊区。

考虑一张被夹住的书页，交叠区到书脊区的距离为$d$，该书页与交叠区（和书脊区）有夹角$\theta$，该书页在交叠区（和书脊区）受到的拉力（张力）为$T$。

在交叠区，该书页的受力分析如下：上表面有压力$N_1$，下表面有压力$N_2$，向左的拉力$T$，向右的两个摩擦力$f_1=\mu N_1$和$f_2=\mu N_2$。

显然，$T=f_1+f_2$，$N_2-N_1=T \tan \theta$。

对两张相邻的书页做同样的分析，把得到的结果相减，就可以得到差分方程，（考虑对称性，从中间数起的）第$n$张书页和第$n+1$张书页上的拉力差就是

$T_n-T_{n+1}=2 T_n  \tan \theta_n $

根据这个差分方程，就很容易得到书页交叉的两本书所提供的拉力。

如果考虑到书页的厚度远小于交叠区到书脊区的距离，还可以把上述差分方程进一步简化为一个常微分方程，分析起来就更方便了。

$T’(z)+2 \alpha z T(z)=0$

其中，$z$是交叠区书页到交叠区中心的距离，$T(z)$是$z$处的拉力，$T'(z)$ 是相应的导数（反映拉力的空间变化），$\alpha$是个参数，它仅仅依赖于摩擦系数$\mu$、交叠区到书脊区的距离$d$、书页的厚度、以及交叠书页的数目$M$。

最后可以得到，书页交叉的两本书可以提供很大的拉力（需要把$T(z)$对$z$求积分），这个拉力指数性地依赖于参数$\alpha$，而$\alpha$本身是$M^2$的函数。

好了，就到这里了。非常简单，仅仅用到了中学物理的受力分析，在加上一点点的大学生数学（数列求和或者是常微分方程）的知识。非常漂亮的工作，值得放到大学《普通物理》教材里。