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光学教学笔记之曲直如意 精选

已有 3015 次阅读 2019-9-23 21:31 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦


 

谁知百炼钢,化为绕指柔。

 


光线,光线,光是沿着直线传播的。这里说的是光在均匀介质的传播,比如说,真空、空气或者水。在两种均匀介质的界面处,会出现反射和折射现象——光线发生了偏折。(光学教学笔记之空留明月辉

在反射和折射过程中,有几个特殊的方向需要搞清楚。首先是入射光的方向,然后是分界面的法线方向。这两个方向决定了一个平面(入射面),反射光和折射光都位于这个平面内。折射定律$n_1 \sin \theta _1=n_2 \sin \theta _2$显然有个更普适的形式,$n\sin \theta =$常数。由此可以应用到更多的情况中。

首先是多层的均匀介质,每层介质的折射率是已知的,分界面都是彼此平行的。因为所有界面的法线法向都是相同的,光线最终都落在一个平面内,也就是最初的入射光和法线组成的平面。光在每层介质内沿直线传播,在界面处发生折射,光的整体轨迹是分段的折线。具体计算也是直接了当的,只是需要多算几次而已。

折射率渐变的情况稍微麻烦一些。这其实就是总厚度保持不变、层数变为无限多的极限情况。可以把它划分为有限的层数,每层用平均折射率来近似,然后采用刚才的算法。也可以用微分方程来求解,因为这种情况下,光的轨迹是一条曲线,但仍然位于同一个平面内(决定于法线和入射光的方向)。在光轨迹上的每一个点,仍然有两个特殊的方向:梯度折射率介质的法线方向, 光轨迹在该点的切线方向。这两个方向就确定了一个角度$ \theta $,再根据折射定律的普适形式($n\sin \theta =$常数),就可以得到一个一阶微分方程,因为切线的方向决定于轨迹的导数。只要知道折射率的分布情况,由一阶微分方程再加上一个初始条件(入射光的方向),就可以确定整个轨迹了。无论海市蜃楼还是沙漠幻境,都是因为温度的差别导致了空气密度(因而也就是折射率)的梯度分别,从而使得光线弯曲、产生了幻景。在太阳暴晒的公路或者机场跑道上,也可以观察到类似的情况。在海水里,不仅有温度梯度,还可以有盐分的梯度,同样会造成折射率的变化。

如果折射率的层状分布不是平面型的,而是球对称的,也很容易求解,还有个类似于角动量守恒的“布格Burge定理”。在光轨迹上的任何一点,仍然是有两个特殊的方向:切线方向和法线方向,而且法线方向正是球心与该点的连线方向。所以,光轨迹总是位于同一个平面(球心也位于该平面内),只要采用球坐标系,仍然可以用折射定律得到一个一阶微分方程,再利用初始条件就可以得到整个轨迹。太阳光在地球大气中的折射就属于这种情况:清晨的太阳还在地平线以下,就发出了进入你眼睛的第一缕阳光:月全食的时候,我们看到的不是黑月亮,而是红月亮(谈谈红月亮)。人造物体就更多了:麦克斯韦研究的“鱼眼”镜头(“绝对仪器”的一个简单而有趣的例子),超音速战斗机上用于增强反射波的龙勃透镜(可以替代气动性能较差的角锥反射镜),都利用了这种设计。

折射率分布是柱对称的情况,会有些麻烦:在光轨迹的任何一点,有三个特殊的方向,对称轴的方向$z$,折射率梯度的方向$r$,以及光入射的方向。一般来说,光的轨迹不再是位于一个平面内,但也有两种特殊的情况,可以利用对称性转化为二维问题:光线垂直于对称轴;光线经过对称轴,折射率梯度的光纤大致满足这个条件(但是不能太细,否则光的波动行为就会起作用,而我们这里只考虑几何光学),伍德透镜以及各种折射率梯度透镜(GRIN,利用离子扩散技术制作)都可以让入射端面和出射端面都是平的,同时有具有汇聚(或发散)光的作用。

可以精确处理的情况,大约就这么几种了。其他情况都要采用近似或者数值求解的方法。比如说,只要折射率分布只在空间的有限几个部分是不同的(“几个”可以是很大的数字),就总是可以采用“光线追迹法”:在同一个介质中,光是直线传播,碰到界面后,用折射定律处理,然后再直线传播,直到遇见下一个界面。只要选定足够多的初始光线,就可以得到整个系统的表现。连续的分布(无限多部分的折射率都不一样)可以用有限的分布来近似,而现在的计算能力空前强大,算这些东西,都是小菜一碟了。

 

虽然说是小菜一碟,但也没必要总是用蛮力啊。即使对于最一般的情况,仍然可以求助于微分方程。只要我们知道折射率的空间分布,就可以得到“光线方程”,前面提到的都只是光线方程的特例。利用费马原理(最小光程原理),就可以用变分法得到光线方程。(我们以前用变分法处理过力学里的最速降线问题,还得到了拉格朗日方程。力学教学笔记之变分法


已知条件是折射率的空间分布,用费马原理求AB两点之间的光轨迹。实线R(ight)是满足最短光程的轨迹,虚线W(rong)是附近的一条随便选的轨迹。$s$是轨迹R上任一点CA的长度,C点的空间位置用矢量$r(s)$来表示,D是轨迹W上用同一个参数$s$表示的微小变化,它与C点的位置差是矢量$a(s)$。利用费马原理就可以得到光线的轨迹。(见附录)

当然,还有更严格的处理。考察由麦克斯韦方程组得到的电磁波方程,可以猜测介质中的电磁波可以用所谓的“程函”来描述,也就是说,把电磁波的平面波解$e^{ik r}$推广到程函解$e^{ik S(r)}$,其中的“光程”$S(r)$是位置坐标的实函数。在适当的近似下,可以得到所谓的“程函方程”,进而得到光线方程。细节就不说了,请参阅Born&Wolf《光学原理》的第三章。

 

简单总结一下。在几何光学的近似下,光线在介质中的传播是个确定性的问题:由微分方程决定,有确定的解,在对称性好的情况下,解的形式还很简单。定性地说,光线总是往折射率大的地区偏转。而且,这个原则不仅可以用来描述光,还可以描述声波等其他波动现象,甚至广义相对论中光线在引力场中的弯曲问题,只是需要考虑那些情况下的折射率对应着什么样的物理参数。

 

最后,让我们暂时从物理问题转向人生哲学。我拉拉扯扯地讲了这么多,图个什么呢?曲曲折折表达出来的意思不过是这样的:物理很容易,让别人对物理感兴趣,似乎却并不容易——你必须要尝试许多方法,采用各种手段。

从这个角度来看,如果你问我,这个光他好好的直线不走,为什么偏要走弯路?我当然可以用什么最短光程、测地线什么的来忽悠你,但是我相信,这都不是原因,光这个家伙之所以不走正道,肯定是因为他听说过中国古代的谚语:

直如弦,死道边;

曲如钩,反封侯。

 

  

附录:利用费马原理推导光线方程。

已知条件是折射率的空间分布,用费马原理求A、B两点之间的光轨迹。实线R(ight)是满足最短光程的轨迹,虚线W(rong)是附近的一条随便选的轨迹。$s$是轨迹R上任一点CA的长度,C点的空间位置用矢量$r(s)$来表示,D是轨迹W上用同一个参数$s$表示的微小变化,它与C点的位置差是矢量$a(s)$。利用费马原理就可以得到光线的轨迹。(见附录)

费马原理说的是:光程$L=\int ^B_A n \mathrm{d}s$最小,也就是$\delta L =0$。因为$\mathrm{d}s =|\mathrm{d} r(s)|$,所以

$L=\int ^B_A n \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right| \mathrm{d}s$

再强调一遍,这里的$s$是个参数,它是曲线R上的点沿着曲线到点A的距离。变分$\delta L$就是这个积分中两个乘积项的变分,$\delta n \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right|$ $ n \delta \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right|$

$\delta n$好求,它就是折射率梯度在$a(s)$方向的投影,$\nabla n \cdot a(s)$$ \delta \left|\frac{\mathrm{d} r(s)}{\mathrm{d}s } \right|$算起来有些复杂,最直接的方法是从定义出发,计算$ \left|\frac{\mathrm{d}(r(s)+a(s))}{\mathrm{d}s } \right|- \left|\frac{\mathrm{d} r(s) }{\mathrm{d}s } \right|$,注意到这里是矢量运算,$|r+a|=\sqrt{(r+a)\cdot(r+a)}$,再利用$|a|\ll |r|$,就可以求出变分了。

有了这两个变分,再利用$a$的任意性,就可以得到光线方程了。

更多细节可以参见:张蜀子,黄报星,《光线矢量与光线方程》,《华中师范大学学报(自然科学版)》,第25卷第1期(1991年),第30-34页。DOI:10.19603/j.cnki.1000-1190.1991.01.007

【摘要】:本文由费马原理的变分形式,导出光线微分方程。我们选用适当的参变数将光线方程降阶为光线矢量的一阶方程,用以解决若干非均匀媒质的几何光线问题。




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