前两天，林开亮老师在《那些悬赏的数学问题》里，介绍了一些有趣还有钱的数学问题。昨天，我解决了其中的一个问题，并写了一篇博文。蔡宁老师看了说，最简单的问题应该是第13题啊——我就去看了看。

这道题看着很复杂，但是很容易猜出这个结果，特别是等号成立的条件。然而，要在数学上证明这个命题，却不容易。

简单说明：

从对称性出发，很容易猜出，最大值构型是以原点为中心的正五边形，直接计算就可以得到，10条线段的乘积的平方值是$5^5$，非常有趣的结果。也很容易证明，正五边形的构型是局部极大值。

可以分两种情况证明。

第一种情况，选取一个顶点，在其平衡位置（即正五边形顶点处）在单位圆上略微移动一点。这时候，其他四个顶点不懂，只有一个变量$\phi$，利用微积分的方法，可以证明，这个点是极大值。

第二种情况，让顶点沿着矢径的方向略微移动。把这个正五边形均匀地收缩$1-x$倍，即，外接圆的半径从1变为$1-x$。然后，再把其中一个顶点沿着矢径方向移动到$1+4x$。虽然五个顶点都动了，但是仍然只有一个自变量$x$。利用微积分的方法，可以证明，这个点是极大值。

这样就可以确认，正五边形的构型是局域极大值。但困难的是，怎么证明这是全局的最大值。

至少还有另一个局域极大值。仍然从对称性考虑，一个点位于原点处，其余4个点位于以原点为中心的正方形顶点处。仍然是利用微积分的方法，可以证明，这个构型也是极大值。直接计算可以得到，这个极大值是$\frac{5}{16}5^5$。也就是说，只有正五边形构型的$\frac{5}{16}$。

好了，我们现在有了两个构型，都是局部的极大值构型。在正五边形的构型里，5个顶点位于半径为1的圆上，极大值是$5^5$；在正方形的构型里，4个顶点位于半径为$\sqrt{5}/2 \approx 1.12$的圆上，最后一个点位于圆心处，极大值是$\frac{5}{16}5^5$。

这两种极值构型都是从对称性考虑得来的。虽然他们看起来有很大不同（一个是五重对称性，另一个是正方形不对称性），但是它们都可以在圆周上任意转动，所以又可以说，他们都具有旋转不变性。

这个问题实际上是8个变量的最佳搜索问题：5个点的位置有10个变量，减去1个限制条件，再减去一个角度（也就是说，把一个点的角度位置固定下来）。让情况变得更糟糕的是，显然有无穷多种构型，具有最小值——只要有两个点重合就可以了。

另外，我们发现，即使只考虑这两种构型，那个构型的结果最大，也依赖于限制条件。如果把限制条件$\sum |z^2_i|=5$改为$\sum |z_i|=5$，正方形构型就会具有更大的数值。

当然，严格证明的真正困难在于， 并不是只有这两种极大值构型。比如说，考虑一个正三角形构型，3个点位于以原点为圆心的等边三角形的顶点上，另外2个点位于一条以原点为中心的线段的两端。因为两个点缩在一起是0，三个顶点缩在一起也是0，所以，这种构型一定还有局部的极大值。很容易猜想，可能还有其他的构型具有极大值。

不过话说回来，如果把证明的条件放松一些，还是可以证明的。比如说，可以利用计算机来帮忙。很容易证明，为了取得极大值，这5个点应该在内径为0.5、外径为2的圆环以内；应该也可以证明，任何两点的间距应该大于0.5（上面这些都是很宽松的条件。）这样就可以用计算机把8维的参数空间分成小格子，然后逐个检验每个格点的构型。只要格子划分的足够细（我猜0.1就足够了），格子内的构型就可以用微积分的方法分析。

这个方法肯定可以的。然而，这并不是搞数学的人喜欢的方式，因为他们不是很喜欢计算机。当然，搞物理的人就更不喜欢这种方法了——我早就猜出答案了，谁耐烦去证明他是全局最大值？

不过也难说——也许谢力老师愿意，就像他对霍曼转移的态度那样。