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前两天,林开亮老师在《那些悬赏的数学问题》里,介绍了一些有趣还有钱的数学问题。我试了一个看起来最容易的,我觉得我解决了这个问题。
此问题由山西大学附属中学王永喜老师征解,悬赏500 元人民币。
这个命题对于$n\ge 5$不成立。
证明:
取$r=\frac{p}{q}$,其中,$k\ge q \ge p$,而且$p$和$q$互素。为了方便起见,假设$k$的数值很大。
$n$次幂小于$k$的整数,只有$k^{1/n}$个,两个$n$次幂的和大约只有$k^{2/n}$个不同的数值,而$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$大约只能取$k^{4/n}$个不同的数值。
$r=\frac{p}{q}$的可能取值大约是$k^2$个。
对于某个特定的$r=\frac{p}{q}$,它有可能表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率是$k^{-\gamma}$,其中,$\gamma= 2-\frac{4}{n}$。
当然,$r$可以取值$\frac{2p}{2q}$,$\frac{3p}{3q}$ ,甚至更一般的,$\frac{mp}{mq}$。基于相同的考虑,$r=\frac{mp}{mq}$可以表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率是$(mk)^{-\gamma}$。
这样一来,$r=\frac{p}{q}$不能表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率就是
$(1-k^{-\gamma})\times (1-(2k)^{-\gamma}) \times (1-(3k)^{-\gamma}) \times \ldots$
$\approx e^{-k^{-\gamma}-(2k)^{-\gamma}-(3k)^{-\gamma}- \ldots }$
这是一个不等于零的数,因为只要$\gamma >1$,$\sum \frac{1}{i^{\gamma}}$就不是无限大。
所以,$r=\frac{p}{q}$不能表示为$\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}$的几率不为零。
补充说明:
简单地说,这个命题不成立的原因就是,等式右边的组合数远远小于等式左边。当然,因为涉及到无穷大,这样的类比需要很小心。
上面这个证明不适合于$n$等于3和4的情况,因为$\gamma =2-\frac{4}{n} \le 1$。偶数4不在命题考虑的范围里,所以唯一剩下的就是3了。
另外,上面这个不能算是严格的数学证明,但是思路应该是没问题的。我觉得还能写得更严密一些,但我是搞物理的,不是搞数学的——所以也就这样了。
顺便说一下:
对于搞物理的来说,哥德巴赫猜想(每个偶数可以表示为两个素数之和,$k=p+q$)是显然成立的。对于足够大的偶数$k$来说,有$k/ \ln k$个素数小于它,所以,随便选个小于$k$的素数$p$(有$k/ \ln k$种选择方式),那么,$q=k-p$也是素数的可能性是$1/ \ln k$。所以,$k$表示为两个素数和的可能性有$k/ (\ln k)^2$种。
当然啦,数学家们是不会承认这种“证明”的。
我也不承认。
PS:
用$\frac{q-1}{q}$来说明这个问题,好像更简单一些。
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GMT+8, 2024-11-23 08:22
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