山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾。

$\pi \approx 3.1415926535 \approx \frac{22}{7} \approx \frac{355}{113}$

祖冲之（429年-500年）是我国古代伟大的数学家。他改进了刘徽（约225年—约295年）的割圆术，把圆周率计算到小数点后第7位，即$3.1415926 < \pi <3.1415927$，还给出了约率（$22/7 \approx 3.143$） 和密率（$355/113 \approx 3.1415929$）。《算经十书》收录过祖冲之的《缀术》五卷，然而“学官莫能究其深奥，故废而不理”（《隋书》）。祖冲之到底是怎么计算$\pi$的，我们现在并不清楚。

往事越千年。随着科学知识的普及，每个大学一年级的学生，都可以轻松地把$\pi$计算到祖冲之的精度，但是，他们中的一些人并没有意识到自己的能力。

中学生的方法

对于半径为1的圆，其周长$2\pi$和面积$\pi$都可以用来计算圆周率。这个圆的内切正$n$边形和外切正$n$边形的周长和面积，在$n$趋于无穷大的时候，都趋近于圆的周长和面积。

内切正$n$边形的周长是$2n\sin\frac{\pi}{n}$,外切正$n$边形的周长是$2n\tan\frac{\pi}{n}$,对于所有的$n$，都有

$n\sin\frac{\pi}{n} < \pi <n\tan\frac{\pi}{n}$

当然，我们不能用这个公式来计算$\pi$值，否则就循环论证了。但是，我们可以选择适当的正$n$边形，并逐渐增大$n$。最常用的方法是从正6边形开始，然后逐步加倍，12、24、48、96，等等。这是因为内切正6边形的边长是1，外切正6边形的边长是$\sqrt{3}/3$，都是很好算的数值。

内切正$6\cdot 2^k$边形的边长是$a_k=2 \sin \theta _k$，其中，$\theta _k =\frac{\pi}{6\cdot2^k}$。如果知道了$a_k$，就很容易知道

$a_{k+1}=2\sin \theta _{k+1}= 2\sin\theta _k /2 $

$=2\sqrt{\frac{1 - cos \theta_k}{2}}=\sqrt{2}\frac{\sin \theta _k}{\sqrt{1 + \cos \theta_k}}$

$=\sqrt{2}\frac{\sin \theta _k}{\sqrt{1 + \sqrt{1-\sin ^2\theta_k}}}=\sqrt{2}\frac{a_k/2}{\sqrt{1+\sqrt{1-a^2_k/4}}}$

再根据$a_0=2\sin \frac{\pi}{6}=1$，就可以递推地得到所有的$a_{k}$，而$\pi =6\cdot 2^k a_k$。

同样的方法，可以得到外切正$6\cdot 2^k$边形的边长$b_k$的递推公式是

$b_{k+1}=2\tan \theta _{k+1}= 2\tan \theta _k /2$

$=\frac{1-\cos \theta _k }{1+\cos _k }=\frac{b_k}{\sqrt{1+b^2_k/4}+1}$

再根据$b_0=2\tan \frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}/3$，就可以递推地得到所有的$b_{k}$，而$\pi =6\cdot 2^k b_k$。

利用这些公式，就可以得到$\pi$值如下 

表面看来，刚才这些计算涉及了三角函数，其实不用三角函数也可以得到相应的递推公式，因为只涉及到勾股定理。比如说，对于内切正多边形，AB的长度为$a_k$，AC的长度为$a_{k+1}$，则

$a_{k+1}=AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(a_k/2)^2+(1-\sqrt{1-(a_k/2)^2})^2}=\sqrt{2}\frac{a_k/2}{\sqrt{1+\sqrt{1-a^2_k/4}}}$

这里只涉及开平方和加减乘除，原则上谁都可以算的，但是计算太繁琐了，如果没有计算器，是很难算的。中国古代没有我们现在的阿拉伯数字系统，计算起来很不方便，虽然说有人能够“照位运筹如飞,人眼不能逐”（ 沈括《梦溪笔谈·技艺》），恐怕也不能采用蛮力来计算$\pi$值。

大学生的方法

在单位圆里，弧边梯形AOCB的面积减去三角形BOC的面积，就是扇形角AOB（张角为$\phi$）的面积（$\phi /2$），由此可以得到圆周率$\pi$。

AOCB的面积是$\int ^{\sin \phi}_0 \sqrt{1-x^2}dx$，而BOC的面积是$\sin \phi \cos \phi /2$，扇形角AOB的面积就是

$\phi =\int ^{\sin \phi}_0 \sqrt{1-x^2}dx - \sin \phi \cos \phi /2$

把积分里的$\sqrt{1-x^2}$用二项式定理展开，就可以得到

$\phi\approx \int ^{\sin \phi}_0 dx(x-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{16}x^6-\frac{5}{128}x^8）-\frac{1}{4}\sin 2\phi$

$=x(1-\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{32}x^4-\frac{1}{112}x^6-\frac{5}{1152}x^8)^{\sin \phi}_0 -\frac{1}{4}\sin 2\phi$

选择一些简单的$\phi$值，就可以得到$\pi$值

需要注意的是，上面这两种方法都是野蛮处理，计算只涉及加减乘除和开方（用于计算$\sin$ 值），原则上来说，可以用手算出来的（开方可以用迭代法得到），尽管我这里的结果来自于计算机（我手算过15度，确认是可以算的，可是后来发现结果有点错儿）。这些方法甚至都没有用到刘徽不等式，也没有给出$\pi$值的上下限，从证明技巧上来说，还远不如古人，更不用说符合现代数学的严格要求了。然而，科学知识的普及，使得我们这个时代的普通人也能轻松达到古代杰出人物的计算水平，却是无可置疑的。