jiyang1971的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/jiyang1971

博文

计算方法之意思意思而已 精选

已有 5510 次阅读 2018-9-19 21:26 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 


 

$\sqrt{2} \approx 1.41421$

 

 

高级程度的初等数学比中级程度的高等数学困难得多:初等数学里充斥着各种奇技淫巧,而高等数学往往只需要例行公事。全国高中数学竞赛的难度远远大于研究生入学考试——数学系的研究生也不例外。

 

$1-\sqrt{0.99999}$怎么算?中学生完全可以做出来。

$1-\sqrt{0.99999} =(1-\sqrt{0.99999})\times(1+\sqrt{0.99999})/(1+\sqrt{0.99999})$

$=(1-0.99999)/(1+\sqrt{0.99999})\approx 5\times 10^{-6}$

难吗,并不难。还很容易推广到更一般的情况。比如说,明天是中国科学技术大学建校60周年,$1-(0.999...9)^{1/2018}$609)等于多少?只要记得$1-x^n= (1-x)\times (1+x+x^2+...+x^{n-1})$,就可以知道它等于$1\times 10^{-60}/2018$。非常简单。

但是,高等数学比这个还要简单——只要套用最简单的泰勒展开,就可以得到结果了。$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2+...$,把$x=-1\times 10^{-60}$$\alpha=1/2018$带进去就行了。

初等数学方法往往不具有普遍性。比如说,$2018^{60}$算起来就会复杂一些。不是不能算,只是有些复杂。$2018^{60}=2000^{60}\times(1.009)^{60}$,再注意到$2^{60}=1024^6$,也就可以算了。但是,如果你会点高等数学,事情就会容易得多。

 

我上中学的时候,计算器还不很普及,每个人都会用《中学生数学用表》。只要知道$2018^{60}=10^{60\log 2018}=$,就可以用查表法得到答案。数学用表里不仅有对数表,还有各种三角函数表,但是好像没有平方根表,不仅是因为可以用对数表来推算,而且还因为大家都会手算平方根的——那是很久很久以前的事情了。

现在的学生也都知道$\sqrt{2}=1.414$和$\sqrt{3}=1.732$,但是好像没有人会算$\sqrt{7}$。平方根的竖式解法也算是初等数学的一种奇技淫巧,说穿了其实一钱不值——就是凑数。记住$(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$,就可以凑数了。2的平方根很简单,它肯定介于1.4和1.5之间了,因为$14^2=196$$15^2=225$(大家当然都记得20以内的平方数了)。7的平方根算起来稍微麻烦一些,下面是常规的竖式算法。$\sqrt{7}=2.645$,你甚至还可以根据余数猜出,四舍五入后的结果应该是2.646

 

 

当然,现在谁也不这样算了。不是因为大家都会高等数学,而是因为计算器早就普及了。可是,你知道计算器是怎么开平方根的吗?他也要学习泰勒展开吗?根本不需要。

计算机里采用的是迭代算法。为了求$\sqrt{a}$,只需要随便选个差不多的初始值$x_0$,然后迭代地计算$x_{n+1}=( x_n +a/x_n)/2$,很快就得到结果了。初等数学在这里也有帮助。迭代公式的右边显然大于等于$\sqrt{a}$,而且两项的差别越大,结果离$\sqrt{a}$越远,而每次迭代都会让它更接近于$\sqrt{a}$。当然,如果你想知道到底有多快,高等数学同样可以帮助你分析——这就是数值算法复杂度的分析,其实很简单的,只要你懂一些高等数学就行了。

这种迭代方法还可以计算k次方根。比如说,三次方根,只要套用$x_{n+1}=( 2x_n +a/x^2_n)/3$就可以了。至于说k次方根,可以采用$x_{n+1}=( (k-1)x_n +a/x^{k-1}_n)/k$,甚至可以考虑更一般性的$x_{n+1}=( (k-m)x^m_n +m a/x^{k-m}_n)/k$ (其中,$1\le m \le k-1$)。如果想知道m取什么值最好,就需要一些高等数学的知识了。

 

初等数学确实很有用,特别是有助于你考上大学,但是,高等数学更简单,比初等数学简单得多了。

 



http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1135782.html

上一篇:李兆良老师关于《坤舆万国全图》的讲座视频
下一篇:[转载]柳宗元:封建论

22 程少堂 黄永义 郭战胜 张小元 张江敏 孙杨 武夷山 刘全慧 郭景涛 冯大诚 蔡宁 刘洋 吕喆 赵克勤 宁利中 吕洪波 李斐 赵美娣 徐明昆 康建 李颖业 李久煊

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (11 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2018-12-18 03:03

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部