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计算方法之意思意思而已

已有 7737 次阅读 2018-9-19 21:26 |个人分类:大众物理学|系统分类:科普集锦

 


 

$\sqrt{2} \approx 1.41421$

 

 

高级程度的初等数学比中级程度的高等数学困难得多:初等数学里充斥着各种奇技淫巧,而高等数学往往只需要例行公事。全国高中数学竞赛的难度远远大于研究生入学考试——数学系的研究生也不例外。

 

$1-\sqrt{0.99999}$怎么算?中学生完全可以做出来。

$1-\sqrt{0.99999} =(1-\sqrt{0.99999})\times(1+\sqrt{0.99999})/(1+\sqrt{0.99999})$

$=(1-0.99999)/(1+\sqrt{0.99999})\approx 5\times 10^{-6}$

难吗,并不难。还很容易推广到更一般的情况。比如说,明天是中国科学技术大学建校60周年,$1-(0.999...9)^{1/2018}$609)等于多少?只要记得$1-x^n= (1-x)\times (1+x+x^2+...+x^{n-1})$,就可以知道它等于$1\times 10^{-60}/2018$。非常简单。

但是,高等数学比这个还要简单——只要套用最简单的泰勒展开,就可以得到结果了。$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2+...$,把$x=-1\times 10^{-60}$$\alpha=1/2018$带进去就行了。

初等数学方法往往不具有普遍性。比如说,$2018^{60}$算起来就会复杂一些。不是不能算,只是有些复杂。$2018^{60}=2000^{60}\times(1.009)^{60}$,再注意到$2^{60}=1024^6$,也就可以算了。但是,如果你会点高等数学,事情就会容易得多。

 

我上中学的时候,计算器还不很普及,每个人都会用《中学生数学用表》。只要知道$2018^{60}=10^{60\log 2018}=$,就可以用查表法得到答案。数学用表里不仅有对数表,还有各种三角函数表,但是好像没有平方根表,不仅是因为可以用对数表来推算,而且还因为大家都会手算平方根的——那是很久很久以前的事情了。

现在的学生也都知道$\sqrt{2}=1.414$和$\sqrt{3}=1.732$,但是好像没有人会算$\sqrt{7}$。平方根的竖式解法也算是初等数学的一种奇技淫巧,说穿了其实一钱不值——就是凑数。记住$(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$,就可以凑数了。2的平方根很简单,它肯定介于1.4和1.5之间了,因为$14^2=196$$15^2=225$(大家当然都记得20以内的平方数了)。7的平方根算起来稍微麻烦一些,下面是常规的竖式算法。$\sqrt{7}=2.645$,你甚至还可以根据余数猜出,四舍五入后的结果应该是2.646

 

 

当然,现在谁也不这样算了。不是因为大家都会高等数学,而是因为计算器早就普及了。可是,你知道计算器是怎么开平方根的吗?他也要学习泰勒展开吗?根本不需要。

计算机里采用的是迭代算法。为了求$\sqrt{a}$,只需要随便选个差不多的初始值$x_0$,然后迭代地计算$x_{n+1}=( x_n +a/x_n)/2$,很快就得到结果了。初等数学在这里也有帮助。迭代公式的右边显然大于等于$\sqrt{a}$,而且两项的差别越大,结果离$\sqrt{a}$越远,而每次迭代都会让它更接近于$\sqrt{a}$。当然,如果你想知道到底有多快,高等数学同样可以帮助你分析——这就是数值算法复杂度的分析,其实很简单的,只要你懂一些高等数学就行了。

这种迭代方法还可以计算k次方根。比如说,三次方根,只要套用$x_{n+1}=( 2x_n +a/x^2_n)/3$就可以了。至于说k次方根,可以采用$x_{n+1}=( (k-1)x_n +a/x^{k-1}_n)/k$,甚至可以考虑更一般性的$x_{n+1}=( (k-m)x^m_n +m a/x^{k-m}_n)/k$ (其中,$1\le m \le k-1$)。如果想知道m取什么值最好,就需要一些高等数学的知识了。

 

初等数学确实很有用,特别是有助于你考上大学,但是,高等数学更简单,比初等数学简单得多了。

 



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