尝登广武，观楚汉战处，叹曰：“时无英雄，使竖子成名。”

七月份因为和谢力老师聊天的关系，写了几篇博文，简单介绍了霍曼转移的概念以及两次变轨和三次变轨的最优化问题。前几天蒋迅老师的博文又提到了霍曼转移（数学家是如何帮助日本成为第三个环月国家的），觉得还有必要补充几句。

蒋老师的故事是说，数学家贝尔布鲁诺提出了一种新方法，使得日本发射的航天器“飞天号”只用了很少的燃料就实现了绕月任务——比霍曼转移的方法节能得多。霍曼转移不是最优解吗？为什么又会出来更好的新方法了呢？原因很简单：这是个完全不同的问题——月球本身也有引力。

如果只考虑月球和航天器，航天器绕月球转动意味着航天器的总能量（动能+势能）是负的。离月球无穷远的地方，势能为零，而动能最小也是零。也就是说，从足够远的地方进入月球势力范围的航天器，能量总是正的。不可能完成的任务。

先不考虑月球的引力场。此时，有可能使得航天器相对于月球静止，只要二者的速度相同就可以了。月球和航天器都是在地球的引力场中运动的，只要采用霍曼转移的方法，就可以使得二者的速度相同——让航天器从原来的轨道进入月球的公转轨道就行了。至于最节能的方法是二次变轨还是三次变轨，就依赖于航天器的初始轨道了。只要有耐心，在合适的条件下，三次变轨的霍曼转移是可以节省能量的，缺点在于必须等足够长的时间——航天器有可能跑到无穷远处去，真是不幸啊。

幸运的是，太阳把这个无穷远处移到了有限的距离上。无穷远意味着什么？意味着航天器在那里的速度为零（临近束缚）。太阳-地球系统碰巧有这样的位置，拉格朗日点，太阳和地球的引力共同作用的结果是，该位置处的物体可以相对于地球和太阳静止。这样的位置一共有5个，我们现在只需要关心位于地球太阳连线上的那个就行了（L1）。

“飞天号”携带的能量碰巧可以把它送到这个位置（L1）附近，在那里重新选择轨道，使得它靠近月球的势力范围时，运动速度与月球绕地球公转的速度相同，满足环绕月球的初步条件。因为这两者的速度相同了，也就不需要第三次变轨了——这就是所谓的弹道式捕捉了。

月球和地球的公转轨道都不是完美的圆形。航天器和月球汇合的过程中，月球可以碰巧正逐渐远离地球和太阳，航天器就要进一步克服地球和太阳的引力，从而使得自己的能量降低，进而被月球束缚，也就是可以绕月球转动了。需要注意的是，航天器和月球汇合的最佳位置，碰巧也在月球-地球系统的拉格朗日点附近。

大致意思就是这样了。这里涉及到太阳、地球和月亮三个引力场的相互作用，具体的轨道肯定无法解析地得到了，但是难不住计算机。只要有了这个图像，就可以用些蛮力了——蒋老师博文里讲的拼接法就是干这个的。

事后看起来，新方法好像也不是特别困难啊，真的不知道为什么日本宇航局想不到这个方法。至于靠画画启迪思维，也就是说说罢了——要点根本就不在这里。我觉得，可能还是因为，绝大多数人根本就没有机会碰到这个问题，也就谈不上解决了。传记里的事情，恐怕都不免有些夸张。就像钱学森传记中说，某次火箭发射，因为发射场气温急剧升高，火箭推进剂膨胀而且气化严重，燃料箱装满了也不够，大家都束手无策。王永志建议卸下六百千克燃料，钱学森采纳了他的建议——果然成功了。减少燃料、射程反而增大，以前的工程师们都计算错了吗？书中并没有说理由，我想可能是，气温升高使得气压降低，从而降低了阻力，使得火箭的最佳工作点发生了变化。

蒋迅：数学家是如何帮助日本成为第三个环月国家的 

谈谈霍曼转移 

两次变轨的霍曼转移最优化问题 

三次变轨的霍曼转移最优化问题

再谈霍曼转移