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一节有半,矢量的定义和运算。矢量的分解和合成,就是中学的平行四边形形法则。点乘:矢量自身的点乘给出了长度;两个矢量的点乘涉及它们的夹角,很自然地与中学的三角形余弦公式联系在一起。叉乘:自身的叉乘等于零(点乘强调B与A平行的部分,叉乘强调B与A垂直的部分);两个矢量的叉乘结果与这两者都垂直,大小与相应的三角形面积有关。至于说$A \cdot (B \times C)$(平行六面体的体积)和$A \times ( B \times C )$(结果必然位于B和C张成的平面上),不过是简单的推广而已。
最后半节,微积分的微分部分。微分的要点是先不看全局、只看局部,导数就是对局部变化做直线近似后的斜率。常见函数的求导,暂时先记住公式、至少知道去那里查找,然后找几个简单的、自己做做。积分的要点是由足够多的局部信息得到全局知识——下次再讲。
向学生强调的是,定义就是约定,先套公式做几个练习题熟悉一下,特别是要掌握其几何意义,或者说物理图像。先搞清楚哪些是定义和结论、哪些是需要证明的过程,慢慢就熟悉了,以后再仔细推敲(证明很可能要推给数学课了)。
课堂上讲的只是帮大家指指路,数学细节是来不及讲的。物理图像也是这个意思,比如说,$A \times (B \times C)$,比划比划就可以说服自己,它应该等于$k_1 (A \cdot C)B+ k_2(A \cdot B )C$,但只有计算才能够告诉你,$k_1$和$k_2$分别是+1和-1。
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GMT+8, 2024-9-24 05:59
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