白矮星弯曲了周围的时空，从而弯曲了背景恒星发来的星光。通过测量星光的偏折程度，可以得到白矮星的质量。实线为恒星的真实位置，虚线为观测位置。（图片来源：NASA，ESA and A.Field）

真正的胜利，并不是你用武器争取的，那一定要用你的信心。无论多可怕的武器，也比不上人的信心。

——古龙《七种武器·孔雀翎》

最近，天文学家观测到了“微引力透镜效应”：一颗遥远恒星（“背景恒星”）发出的星光，在经过某颗白矮星附近时被偏折了，看起来好像改变了它在太空中的位置。（详情请见研究论文[1]和新闻报道[2]）

这是一个非常有趣的工作。我说它有趣，不是因为“天文学家证明了爱因斯坦是错的（但也是对的）”，而是因为它牵涉到物理学的很多方面，从简单的经典力学和几何光学，到深奥的量子力学和广义相对论，从微小的原子核，到宽广的银河系，从如何在随机的恒星分布里选择观测样本，到怎样从微弱的光谱信号中提取信息。

物理学研究的对象和手段，没有限制。

什么是引力透镜？

苹果从树上掉下来，是因为重力（也就是地球引力）。朝天上射出去的子弹，最终还会落到地面上，也是因为重力。只有牛顿第一个认识到了，月亮绕着地球传，竟然也是重力作用的结果。

无论子弹还是月亮，它们的运动轨迹都会在引力场中偏转，这个引力场可以来自于地球，也可以是太阳，可以是任何东西——这就是牛顿的万有引力定律。

物体运动的速度越快，它在引力场的偏转就越小。运动速度最快的是谁呢？当然是光了。光是直线传播的，它在引力场中也会偏转吗？是的，爱因斯坦如是说。其实，牛顿也是这么说的。牛顿和爱因斯坦的差别，从结果上来看，仅仅是差了个系数2，但是，这个差别意味着世界观的差别。更多的细节就不说了，附录里有些要点。

爱因斯坦创立了广义相对论，认为光在引力场中会偏折，偏转角$\theta \sim 4 GM/\rho c^2$。其中，$G$是万有引力常数，$M$是引力中心的质量为，$c$是光速，$\rho$是光线与引力中心的最近距离。以太阳为例，擦着太阳边缘入射到地球上的光线，其偏转角度是1.75”（大约是8个微弧度），很小的一个值。因为光线偏折了，我们就会以为发光体的位置改变了。

这时候，引力场的作用就相当于一个透镜，也有汇聚光和成像的作用。与光学里的常见透镜不同的是，对光线的偏折角度，引力透镜是越近越大，而光学透镜则是越远越大（在薄透镜和傍轴近似下）。所以，引力透镜并不会把所有的平行入射光线都汇聚到一个焦点上，而是与光轴平行的不同光环，汇聚到光轴上的不同位置。

探测系统：哈勃望远镜的指标

哈勃望远镜是个抛面镜，口径是2.4米，焦距57.6 m，分辨率是0.05角秒（大约$ 2\times10^{-7}$弧度）。卫星距离地面大约500公里，转动周期约95.5分钟。观测范围是紫外、可见和近红外光谱区。CCD探测器大致是2000x2000个像素，每个像素的尺寸约15um（哈勃有多个探测器，用于不同的光谱区，指标也不完全相同）。

衍射极限决定于波长$\lambda$和镜子口径$D$，大致是$\lambda/D = 500nm/2.4m \sim 2.1 \times10^{-7} $，这就是0.05角秒的来历了。

从像素的角度来看，也是如此，分辨率决定于像素的大小$d$和焦距的长短$L$。$d/L=15um/57.6m\sim 2.6\times 10^{-7}$，与衍射极限是一致的。这当然不是巧合，它就是这样设计的，否则必然是浪费。

卫星绕地球运动的周期就更简单了。$T=2\pi R/v =2\pi R /\sqrt{GM/R} = 2\pi\sqrt{R^3/GM}$，其中，$R=6900 km$是卫星轨道半径（6400+500），$G=6.67\times10^{-11} N\cdot m^2 /kg^2$是万有引力常数，$M=5.98\times 10^24 Kg$是地球质量。代入数值得到，$T=5.7\times10^3$，就是95.4分钟了。

由此可知，哈勃望远镜的视野大约是100角秒（1’40”），而哈勃望远镜每秒钟转动的角度大约是230角秒（3’50”）。

成像物体：背景恒星（也就是光源）

银河系的直径约为10万光年，中心厚度约为1.2万光年，包括1000亿到4000亿颗恒星。由此可知，典型的恒星间的距离大约是几光年。距离太阳最近的恒星是半人马星座的比邻星，大约4光年（一年约3000万秒）。太阳的直径是大约5光秒。那么它的视直径只有$5/4\times3\times10^7 \sim 4\times 10^{-8}$，已经接近就是哈勃的分辨率了，更远的恒星就更别说了，所以，所有的光源都可以当作点光源处理。

地球绕太阳公转的半径大约是500光秒。由于，地球的公转，比邻星的视差大约是其视直径的200倍，也就是$10^-5$，大约2角秒。此外，恒星自己的运动也为视差做了些贡献，大致也是这个数量级。成像恒星是一颗矮星（K dwarf），距离我们大约是6000光年（2 kpc），视差当然就更小了，大约是毫角秒的量级，但是，仍然与偏转角度相仿，所以也是必须考虑的。

为了定位，还要用到其他一些恒星，它们与微引力透镜的角距离比较大，不会发生光线偏折。这些定位恒星与地球的距离也是几千光年。

微引力透镜：白矮星Stein 2051B

这次观察到的白矮星Stein 2051B到地球的距离大约是18光年，其每年的视差（主要来自于它相对于太阳运动的速度）是2.374”，而因为地球公转引起的视差大约是0.5”。

选择它的原因是：1、离得近，所以视差大，与背景恒星的角距离的变化也就大一些；2、个头小，亮度低，这样对背景恒星成像的干扰就小一些；3、质量大，它是个白矮星，与太阳质量相仿，所以偏折角度也就大一些（大约是1个毫角秒）；4、它的质量和大小能够用来验证白矮星的形成机制（以前的数据与理论符合得不够好）。

白矮星的形成机制，简单说两句。太阳的内部有热核反应，由此产生的高温就足以抵抗引力了；白矮星产生的能量不够多（它是太阳的晚期），需要电子简并压力（这是量子统计特性导致的结果）来抵抗引力；中子星里，电子简并压力也不够了，电子与质子复合形成了中子，然后靠中子的简并压力来抵抗引力；等到这个也不行了的时候，就是黑洞了，也许之前还有个“夸克星”的阶段。（注意，我们并不是说，一个恒星会在一生中经过所有这些阶段。这实际上是恒星整体的结局，至于某个特定恒星的最终结局，到底是白矮星、中子星还是黑洞，主要的决定因素是星体的质量。）

微引力透镜的测量困难

微引力透镜的概念很简单，公式用起来也很方便（你并不需要自己去推导它，只要拿来用就是了），但是测量起来很困难。

为什么呢？主要是因为天上的星星太少了。

估计一下吧。假定背景恒星、微引力透镜星体和哈勃望远镜位于同一条直线上（此时的偏折角度最大，实际上我们假设的是，这三者夹角与光线偏折角度相仿），再假设作为微引力透镜的星体跟太阳差不多，到我们的距离是$L$，背景恒星（足够远）发出的光线与它的最近距离就是$d=L\theta$，那么，偏转角大约是$\theta = GM/(L\theta c^2)=(GM/ R_{sun}c^2)(R_｛sun｝/L)/\theta$，由此得到，$\theta=3\times10^{-3}\sqrt{R_｛sun｝/L}$。即使我们选择$L$为10倍于比邻星的距离，$\theta$也只有$2\times 10^{-7}$（大约是0.3个角秒），这就意味着需要 $4\pi/\theta ^2 \sim 3\times 10^{14}$颗恒星，远远超过了银河系里的恒星数目($\sim 10^{11}-10^{12}$）。其他星系离我们太远，单个恒星不足以成像（没有那么多的光）。

那么就只有放松要求了，让偏转角小一些，背景恒星、微透镜星体和哈勃的夹角就可以大一些了。还是考虑银河系，$10^{11}$个星体，角距离大约是$\sqrt{4\pi/10^{11｝}\sim 10^{-5}$（大约是2个角秒），预期的光线偏转角就是$4\times 10^{-9}$弧度，大约是1个毫角秒，这是非常小的角度，但是还是哈勃能测量。

需要注意的是，背景恒星、微透镜星体和哈勃望远镜这三者共线的时候，看到的星像是一个光环，而三者非共线的时候，就只能看到两个像了，它们都位于这三者构成的平面内：一个像是走近路、略微弯折一些而已；另一个像是走远路、绕过微透镜星体而来。前者要比后者亮得多，通常看不到后者（因为偏折角远小于哈勃的分辨率）。

这些估计都很粗糙，但是数量级是对的。很容易做些更详细的估算，但是很烦人。这篇文章的工作也不是这样做的，他们用的是查表法：近年来的巡天数据已经给出了很好的星体分布及运动的信息，根据自己的需要挑选就可以了。

如何实现1毫角秒的测量精度？

前面介绍过了，哈勃望远镜的分辨率是0.05个角秒，也就是50毫角秒，这是由衍射极限决定的，也是由CCD每个像素的大小决定的。然而，微引力透镜对光线的偏折角度只有1个毫角秒，那么问题来了：怎么样用50毫角秒的分辨率实现1毫角秒的测量精度？答案是，收集尽可能多的星光。一个光子的平均位置方差是50毫角秒，为了达到1毫角秒，需要的光子数至少是50的平方，大约是10000个光子（这里是数量级估计，而且是理论极限）。

换一个提问的方式。我们在多远的距离上，哈勃望远镜可以收集到来自于太阳的10000个光子？镜子的面积大约5平米，地球附近的太阳光功率是每平米2kW，CCD曝光时间大约是毫秒量级（这是我猜的，例如文献[1]里的table1里说，Epoch1,1 Oct. 2013, Exp.time(s) 0.5/250），那么就可以收集$10^{20}$个光子。如果只能收集到1万个光子，那么距离就应该是日地距离的$10^8$倍数，大约是两千光年的样子。这篇文章里的背景恒星的距离是6000光年，数量级是对的。这个值好像有些偏小：也许是因为我对曝光时间的理解不太对头；也许只是因为这颗背景恒星比太阳更亮一些，但是考虑到还有好几颗用于定位的背景恒星，应该不是这个原因。

最后的话

这个工作很有趣，而且可以用大学物理知识理解大部分的内容。更重要的是，这个工作告诉我们，物理学是我们理解客观世界的方法，它是一个有机的整体，并不是像我们上课是人为区分的那些理论、实验、四大力学什么的。

当然，还可以再继续分析下去，其实，我觉得，完全可以用这个工作把大学的普通物理学讲一遍的。但是我没有更多的信息，也已经用掉了全部的耐心，所以，就到这里吧。

我欲托之空言，不如见诸行事之深切著明也。

参考来源：

[1] K.C. Sahu el al., "Relativistic deflection of background starlight measures the mass of a nearby white dwarf star," Science (2017). http://science.sciencemag.org/content/356/6342/1046

[2] 爱因斯坦曾经认为不可能的事情，天文学家刚刚做到了

http://www.sohu.com/a/148110463_224832

[3] 《宇宙学》 StevenWeinberg 著， 向守平 译， 中国科学技术大学出版社， 2013年

附录：光线在引力场中的偏转

入射物体质量为$m$，引力中心的质量为$M$。入射物体在远处（无穷远处）的速度为$v$，在不考虑引力作用的时候，它与引力中心的最近距离为$\rho$。那么，在引力的作用下，它的偏转角度$\theta$是什么？

牛顿的方法

用量纲法估计一下吧。偏转角度$\theta$是无量纲的量，而与此有关的物理量有两个，入射物体的能量$\frac{1}{2}mv^2$（总能量一定大于零，否则物体就会被引力中心束缚，也就是绕着引力中心转动，或者干脆就掉上去了。），物体在最靠近中心处的势能$GMm/\rho$。所以，偏转角度$\theta$就是后两者的比值$\theta \sim (GMm/\rho)/(\frac{1}{2}mv^2) \sim 2GM/\rho v^2$。

也可以用中学物理方法来估算。入射物体受到比较大的引力的范围是$\sim \rho$，这段时间大约是$\sim \rho/v$，作用力大约是$GMm/\rho^2$，所以，由此获得的动量就是$\sim (GMm/\rho^2)\cdot \rho/v$，对应的速度是$\sim GM/\rho v$（认为它与入射速度垂直），由此产生的偏转角就是$\theta \sim 2(GM/\rho v)/v \sim  2GM/\rho v^2$。引入2是因为入射物体到达最近位置后还会继续前进直到无穷远处。

这两个结果是一样的。这是巧合吗？当然不是，而是因为我碰巧知道这个问题的严格解就是$\theta\sim  2GM/\rho v^2$，也就是说，从经典物理学出发、用微积分的方法求解得到的结果。量纲法和模型估计都只能得到$\theta \sim  \alpha GM/\rho v^2$,不可能得到$\alpha$的具体数值。

有意思的是，偏转角度并不依赖于入射物体的质量（只要它远小于引力中心的质量），因为在牛顿力学里，万有引力定律涉及的质量（引力质量）和牛顿第二运动定律涉及的质量（惯性质量）是完全相同的。所以，如果我们不管三七二十一，把光速$c$带进这个公式里，就会看到，光在引力场中会发生偏转，$\theta = 2 GM/\rho c^2$。

爱因斯坦的方法

看过两三篇科普文章的读者都知道：牛顿的时空观是绝对的时空观，三维的绝对空间加上一维的绝对时间；爱因斯坦的时空观是相对的时空观，空间和时间构成了所谓的四维时空。从引力质量与惯性质量等价这个“最幸福的想法”出发，爱因斯坦创建了广义相对论，得到光在引力场中的偏转角是$\theta = 4 GM/\rho c^2$。主要原因是，引力场中的时钟会变慢，而且光具有波动性质。具体证明可以在广义相对论的教科书里找到，我就偷个懒吧。

其实，这里不讲的原因并不仅仅是因为懒，还因为我不懂、也无法用相对论的时空观思考问题。相对论的数学其实并不太难，我能读得懂它的推导、做得来它的习题，困难的地方在于相对论的哲学或者世界观，虽然还远没有量子力学那么怪异，但是我也同样用不起来。

那么，我是怎么理解光在引力场中偏转的问题吗？不加质疑地接受爱因斯坦的方法吗？也不完全是，我采用的是“笨人的方法”，用一种没有太多道理的方式来理解这个问题。

笨人的方法

这是一种怪异的、不太正统的办法，把量子力学和相对论的一些结论硬塞到经典力学里，有些像玻尔发明“旧”量子力学时采用的手段。简单说一下吧。

质能公式$E=mc^2$和光量子公式$E=h\nu$,结合起来可以认为，光子的质量是$m=h\nu/c^2$，这样就可以把光看作是粒子，那么，它在引力场中的偏转就可以套用牛顿公式$\theta = 2 GM/\rho c^2$。。当然，结果并不对，差了个系数2。

粒子在引力场中下落，其动能增加，因为势能转化为动能。套用到光粒子身上，就是$h \nu’= h\nu +GM(h\nu/c^2)/R =h\nu (1+GM/Rc^2)$，这就是引力红移效应。这也对应于引力场里的时钟变慢：同一种原子跃迁发出的光，地面上发出的频率就小于高空发出到达地面时的频率，所以说，地面上的钟慢了。

光的传播更多是一种波动现象，波传播的方向就是等相面的法线方向。考虑一束光在引力场中的传播，由于靠近引力中心的地方时钟慢了（或者说，光的频率变大了、波长变小了），那里累积的光程就多一些，等效于折射率大一些而光波长不变。也就是说，引力场相当于一个折射率渐变的球，越靠近中心，折射率越大。这样一来，光线就要往引力中心偏折了（，阳光在大气层中的折射、以及海市蜃楼也都是这个道理）。把“折射率的变化”等同于引力势的变化，就可以得到偏折角的公式$\theta = 4 GM/\rho c^2$，这是个标准波动光学问题和微积分问题。

都是考虑引力势的变化，从粒子性出发，得到的就是$\theta = 2 GM/\rho c^2$，从波动性出发，得到的就是$\theta = 4 GM/\rho c^2$。系数2和4的差别来自于哪里呢？大致是这样的。从粒子性的角度来看，引力改变了入射体的速度，一部分垂直于入射方向，一部分沿着入射方向，对偏转角有贡献的是前者（因为速度的变化量很小），只有一部分势能起作用了；从波动性的角度出发，关键在于相位的累积，所有的势能都起作用了，所以偏转角就大了。换句话说，粒子的行为只涉及孤立的点，而波的行为还依赖于该点附近的整个邻近地区。

PS: 新出来一篇用人工智能处理引力透镜的文章

Fast automated analysis of strong gravitational lenses with convolutional neural networks
Yashar D. Hezaveh,et. al., Nature  548, 555–557 (31 August 2017) doi:10.1038/nature23463
https://www.nature.com/nature/journal/v548/n7669/full/nature23463.html