风乍起，吹皱一池春水

波是最常见的物理现象之一。力电光声热，哪个领域没有波？我们的耳朵听的、眼睛看的，都是波；琴弦的振动、水面的起伏、乃至地球的叹息（地震），也都是波。钟鼓齐鸣、金声玉振，固然是波；电闪雷鸣、珠光宝气，何尝不是波？后者还是冲击波，让你忍不住冲过去、抢下来。热学似乎与波的距离最远：热情，不是波；热浪，也不是波。可是，往通俗里说，热情上来的时候，足球场的观众席上可以造出“人浪”；往玄乎里说，液氦这种量子流体中的二声（second sound），就是因正常流体和超流体的相对运动而导致的温度波；往基础上说，傅里叶分析这种研究波动现象的重要理论和有力工具，就是傅里叶在研究热传导过程中建立起来的。

振动和波是密不可分的。我们已经学习了一些振子的知识，认识到振子是质点在平衡位置附近的振荡，这是单体的运动模式。独乐乐，不如众乐乐，波可以算是许多振子在各自的平衡位置上振动，每个振子并没有背井离乡，能量却由近而远地传播出去了。

波的产生需要能量，其能量来源就是波源；波的传播需要介质，“不待父母之命、媒妁之言，钻穴隙相窥、逾墙相从，则父母国人皆贱之。”即使最开放搞活的电磁波，也要假借“本来无一物”的真空来作为名义上的媒介——没办法，前人们设想的“以太”并不存在。

作为波的整体行为的传播方向，没有理由与局域振子的振动方向有任何相关性，所以，又有横波和纵波的区别：局部振子的振动方向与波的传播方向一致的，就是纵波；两者相互垂直的，就是横波。在三维空间中传播的波，通常有三个模式，因为振子有三个独立无关的振动方向，包括一个纵波和两个横波。纵波和横波的性质特别是传播速度有差别，地震预警就利用了这个效应：当地震发生的时候，纵波跑得快，横波跑得慢，地震台监测到了纵波，就赶紧发预警信号，也许能争取个十几秒钟乃至几分钟的时间——别小看这么短的时间，当大地震来临的时候，区区几秒钟就可能生与死的差别。

波是分布在空间各处的局域振子随着时间的振动，可以用变量$\xi(x,t)$来表示，$x$是振子的空间位置，$t$是时间，$\xi$是振子偏离平衡位置的微小位移，描述波的数学形式是

$\xi(x,t)=A\cos \left(\omega t \pm kx +\phi\right)$

其中，$A$是振幅，描述波的大小；$k$是波矢，描述波的传播方向和速度；$\omega$是圆频率，描述波随时间的变化关系；$\phi$是相位，描述波相对于某个时间零点的延迟。至于说上述表达式中的$\pm$，则是描述了波的方向，也就是我们通常说的左行波和右行波。简单地说，波长和波矢描述了波在空间上的周期性，而频率和周期描述了波在时间上的周期性。因为波在空间中传播，所以它随着时间和空间的变化并不是独立的。描述波的参数还有周期$T$、频率$f$、速度$v$、波长$\lambda$等，这些参数之间有着简单的依赖关系（比如说，$v=f\lambda$），讲义里都有，大家自己看看就行了。

波的产生很容易理解。考虑空间某一点附近的部分，该处的运动也可以用牛顿第二运动定律来描述，也就是说，$f=ma$。用一维情况做例子，质量$m$就是密度乘以微元长度$\rho \mathrm{d}x$，加速度$a$就是微小位移$\xi(x,t)$对时间的二阶导数，那么力呢？力来自于左右的变形，也就是说

$\rho \mathrm{d}x  \frac{\mathrm{\partial }^2 \xi}{\mathrm{\partial } t^2}= k\left[ \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}  |_{x+\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}|_{x }\right]$

右边括号里出现了微分形式，因为位移必须随空间有变化，才能产生力的作用，如果各处的位移都相同，就不会有力了。这样就可以得到

$\rho  \frac{\mathrm{\partial }^2 \xi}{\mathrm{\partial } t^2}= k  \frac{\mathrm{\partial }^2 \xi}{\mathrm{\partial } x^2}$

这就是波动方程。注意，这里我们并没有给出力的具体形式，所以也不能区分这是横波还是纵波。显然，二维空间乃至三维空间里的波动方程，也很容易得到——照猫画虎、照葫芦画瓢就可以了。利用这个方程，就可以理解讲义中的各种例子了：弹性介质中的横波和纵波，琴弦上的横波，空气中的声波，还有水波（包括浅水波和深水波）。

单独频率的波，其速度往往依赖于它的频率（或者说波长）。而通常的波往往包含不同频率的波组分（这就是所谓的波包），就会有群速度和相速度的差别——有些“超光速”效应就依赖于这两者的微妙差别；还会有拍频乃至色散现象的出现——雨后彩虹就是后者的一种表现形式。

有了波，就要讨论波的反射、透射和折射，还要讨论波的干涉和衍射，还有波的能量密度、能流密度、波的强度以及这三者之间的相互关系。要讲的事情太多了，而且我也不可能讲得比课本上更好，所以也就不再继续了。

简单的机械波已然如此复杂，更别说那更要命的电磁波了。你们将来的光学、电磁学等好几门课程，就是专门对付它的。所以说，不要着急，不要紧张，一切都会到来的——你只需要耐心地等待，放下讲义和习题集，收起心潮澎湃的思绪，安静地睡上一觉。也许过一会，你就发出熟睡的脑电波、打起震耳欲聋的鼾声，而绝不会像人老雄心在的陆放翁那样

夜阑卧听风吹雨，铁马冰河入梦来。

因为，“世界是你们的，也是我们的，但是终究是你们的。”你们还年轻，你们血气方刚、风华正茂，绝不会有中年陆游那样的“书愤”

早岁那知世事艰，中原北望气如山。

楼船夜雪瓜洲渡，铁马秋风大散关。

塞上长城空自许，镜中衰鬓已先斑。

出师一表真名世，千载谁堪伯仲间。