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力学教学笔记之小楼吹彻玉笙寒 精选

已有 4007 次阅读 2016-12-23 21:39 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


风乍起,吹皱一池春水

波是最常见的物理现象之一。力电光声热,哪个领域没有波?我们的耳朵听的、眼睛看的,都是波;琴弦的振动、水面的起伏、乃至地球的叹息(地震),也都是波。钟鼓齐鸣、金声玉振,固然是波;电闪雷鸣、珠光宝气,何尝不是波?后者还是冲击波,让你忍不住冲过去、抢下来。热学似乎与波的距离最远:热情,不是波;热浪,也不是波。可是,往通俗里说,热情上来的时候,足球场的观众席上可以造出“人浪”;往玄乎里说,液氦这种量子流体中的二声(second sound就是因正常流体和超流体的相对运动而导致的温度波;往基础上说,傅里叶分析这种研究波动现象的重要理论和有力工具,就是傅里叶在研究热传导过程中建立起来的。


振动和波是密不可分的。我们已经学习了一些振子的知识,认识到振子是质点在平衡位置附近的振荡,这是单体的运动模式。独乐乐,不如众乐乐,波可以算是许多振子在各自的平衡位置上振动,每个振子并没有背井离乡,能量却由近而远地传播出去了。

波的产生需要能量,其能量来源就是波源;波的传播需要介质,“不待父母之命、媒妁之言,钻穴隙相窥、逾墙相从,则父母国人皆贱之。”即使最开放搞活的电磁波,也要假借“本来无一物”的真空来作为名义上的媒介——没办法,前人们设想的“以太”并不存在。

作为波的整体行为的传播方向,没有理由与局域振子的振动方向有任何相关性,所以,又有横波和纵波的区别:局部振子的振动方向与波的传播方向一致的,就是纵波;两者相互垂直的,就是横波。在三维空间中传播的波,通常有三个模式,因为振子有三个独立无关的振动方向,包括一个纵波和两个横波。纵波和横波的性质特别是传播速度有差别,地震预警就利用了这个效应:当地震发生的时候,纵波跑得快,横波跑得慢,地震台监测到了纵波,就赶紧发预警信号,也许能争取个十几秒钟乃至几分钟的时间——别小看这么短的时间,当大地震来临的时候,区区几秒钟就可能生与死的差别。


波是分布在空间各处的局域振子随着时间的振动,可以用变量$\xi(x,t)$来表示,$x$是振子的空间位置,$t$是时间,$\xi$是振子偏离平衡位置的微小位移,描述波的数学形式是

$\xi(x,t)=A\cos \left(\omega t \pm kx +\phi\right)$

其中,$A$是振幅,描述波的大小;$k$是波矢,描述波的传播方向和速度$\omega$是圆频率,描述波随时间的变化关系;$\phi$是相位,描述波相对于某个时间零点的延迟。至于说上述表达式中的$\pm$,则是描述了波的方向,也就是我们通常说的左行波和右行波。简单地说,波长和波矢描述了波在空间上的周期性,而频率和周期描述了波在时间上的周期性。因为波在空间中传播,所以它随着时间和空间的变化并不是独立的。描述波的参数还有周期$T$、频率$f$、速度$v$、波长$\lambda$等,这些参数之间有着简单的依赖关系(比如说,$v=f\lambda$),讲义里都有,大家自己看看就行了。

波的产生很容易理解。考虑空间某一点附近的部分,该处的运动也可以用牛顿第二运动定律来描述,也就是说,$f=ma$。用一维情况做例子,质量$m$就是密度乘以微元长度$\rho \mathrm{d}x$,加速度$a$就是微小位移$\xi(x,t)$对时间的二阶导数,那么力呢?力来自于左右的变形,也就是说

$\rho \mathrm{d}x  \frac{\mathrm{\partial }^2 \xi}{\mathrm{\partial } t^2}= k\left[ \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}  |_{x+\mathrm{d}x}-\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}|_{x }\right]$

右边括号里出现了微分形式,因为位移必须随空间有变化,才能产生力的作用,如果各处的位移都相同,就不会有力了。这样就可以得到

$\rho  \frac{\mathrm{\partial }^2 \xi}{\mathrm{\partial } t^2}= k  \frac{\mathrm{\partial }^2 \xi}{\mathrm{\partial } x^2}$

这就是波动方程。注意,这里我们并没有给出力的具体形式,所以也不能区分这是横波还是纵波。显然,二维空间乃至三维空间里的波动方程,也很容易得到——照猫画虎、照葫芦画瓢就可以了。利用这个方程,就可以理解讲义中的各种例子了:弹性介质中的横波和纵波,琴弦上的横波,空气中的声波,还有水波(包括浅水波和深水波)。


单独频率的波,其速度往往依赖于它的频率(或者说波长)。而通常的波往往包含不同频率的波组分(这就是所谓的波包),就会有群速度和相速度的差别——有些“超光速”效应就依赖于这两者的微妙差别;还会有拍频乃至色散现象的出现——雨后彩虹就是后者的一种表现形式。

有了波,就要讨论波的反射、透射和折射,还要讨论波的干涉和衍射,还有波的能量密度、能流密度、波的强度以及这三者之间的相互关系。要讲的事情太多了,而且我也不可能讲得比课本上更好,所以也就不再继续了。


简单的机械波已然如此复杂,更别说那更要命的电磁波了。你们将来的光学、电磁学等好几门课程,就是专门对付它的。所以说,不要着急,不要紧张,一切都会到来的——你只需要耐心地等待,放下讲义和习题集,收起心潮澎湃的思绪,安静地睡上一觉。也许过一会,你就发出熟睡的脑电波、打起震耳欲聋的鼾声,而绝不会像人老雄心在的陆放翁那样

夜阑卧听风吹雨,铁马冰河入梦来。

因为,“世界是你们的,也是我们的,但是终究是你们的。”你们还年轻,你们血气方刚、风华正茂,绝不会有中年陆游那样的“书愤”

早岁那知世事艰,中原北望气如山。

楼船夜雪瓜洲渡,铁马秋风大散关。

塞上长城空自许,镜中衰鬓已先斑。

出师一表真名世,千载谁堪伯仲间。




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