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力学教学笔记之让子弹飞 精选

已有 5582 次阅读 2016-11-9 10:02 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


物理学的目标就是找到问题,找出问题的主要矛盾,然后解决它。为了抓住主要矛盾,就要分析各种可能的影响因素,比较它们的强弱大小,常常需要做些简单的估算。这些话听起来了无新意,不过是老生常谈。因为泛泛而谈无法让初学者领会其实质,所以,我们用个简单的例子来说明一下。


狙击手问题:在1000米以外,击中半径为10厘米的靶子。这是非常困难的目标,但是优秀的狙击手都可以做到。据说,狙击距离最远的成功案例达到了2430米。


逐个考虑影响因素。


最简单的情况是,真空中的射击问题。没有空气,没有重力,子弹的形状和质量也不用考虑,当作质点处理。那么,只需要瞄准就行了,两点之间一直线。显然,为了击中目标,瞄准的偏差角度$\delta \theta$必须小于$10^{-4}$弧度,大概是20角秒的样子。换个说法,假设枪长为1米,那么枪口偏离的高度不能大于100微米,也就是几根头发丝的粗细。


然后考虑重力的影响。重力使得子弹下落,下落距离为$1/2gt^2$,其中, $g$为重力加速度,$t$为飞行时间。假定子弹速度为每秒1000米,那么,飞行时间为1秒钟,下落距离为5米。为了补偿这个效应,枪口要往上抬一些,大约$5\times10^{-3}$,因为初始的垂直速度大约是5米每秒。幸运的是,瞄准偏差的要求仍然是$10^{-4}$。显然,如果在月球或者黑洞附近射击,枪口上抬的角度会显著不同。


接下来考虑地球自转的影响。是的,你没有看错,地球自转也应该考虑的。地球的角速度大约是$7\times10^{-5}$弧度每秒,由此导致的最大偏差值大约是7厘米,所以也要进行修正。当然,具体的修正值还依赖于射击者的纬度和射击方向,以及子弹的速度。这就是所谓的科里奥利力的影响。


最后考虑空气的影响。

一、子弹在整个飞行过程中排开空气质量与其本身质量的比值为$\rho_1 l_1/\rho_2 l_2 $,依赖于空气与子弹的密度之比$\rho_1/\rho_2$和飞行距离与子弹长度之比$l_1/l_2$。这个比值越小,空气的影响也就越小,所以狙击弹通常选用密度大的金属,炮弹也是如此。很不幸,带入数值后发现,即使是用铅甚至贫铀弹,对于5厘米长的子弹来说,这个比值也大于1。所以,必须考虑空气的影响。如果是在火星上射击,这个影响会小得多,因为火星大气密度只有地球的1%左右。

二、空气产生的阻力。这就是风阻,不仅是子弹,汽车、高铁和飞机都有这个问题。简单估计一下,阻力正比于$\rho S v^2$,大致是单位时间内排开的空气质量$\rho S v$和速度$v$的乘积(其实就是冲量定理)。当然,这里还差了一个所谓的风阻系数,它依赖于子弹的形状。所以,子弹也要尽可能做成流线型的,减小阻力。同样的截面积,不同的形状,风阻可以相差几倍、几十倍。为什么以前的是铅丸、现在的是子弹,道理就在这里。风阻会使得子弹速度变慢,枪口也就需要相应地再次抬高,更讨厌的是,现在的轨迹不在是抛物线,也要进行相应的修正。

三、上面的风阻考虑得不周详。主要是因为子弹的速度太快,超过了空气的特征速度,也就是声速,会产生激波,增大损耗(这就是所谓的音障)。轨迹问题变得更为复杂。这两个因素都太繁琐,所以也就不做计算了。

四、微风徐来。风速比子弹速度小得多,假设是10米每秒好了(其实这已经很大了,狙击手应该会放弃任务了)。沿着子弹方向的风速影响不太大,飞行时间会有1%的差别,由此估计落点高度会偏差大约5厘米,也需要做相应的修正。垂直于子弹方向的风速,影响就很大了,也可以用类似风阻的方式来估算,但是又两个差别,1、侧面的截面积远大于正面,2、侧面的相对速度远小于正面。虽然繁琐,但也是可以修正的。


空气的影响还有很多,上面这些仅仅是准稳态情况,也就是说,这些条件是固定不变的,即使有风,你也要保持不变,还要一路上都是均匀地吹。但是,现实条件恶劣得多。所以,枪管里要做出膛线,让子弹旋转起来。

一、子弹的流线型是相对于飞行方向来说的。子弹的流线型不是完美,偏差会产生子弹两侧的压力差,就会让子弹轴向偏离于飞行方向。即使是完美的子弹,空气的密度涨落、风向反复也会让子弹偏转。一旦子弹的轴向偏离了飞行方向,阻力就会增大很多,阻力的分布差别还会让子弹转起来,飞行轨迹就彻底乱掉了。

二、为了克服上述困难,可以让子弹绕着其轴向自转,产生行进方向的角动量。这样的子弹就是一个陀螺,其轴向基本保持在飞行方向上,保证了飞行轨道的稳定性。这里面的道理讲起来略微有些长,我准备专门写一篇《力学教学笔记之进动的陀螺》。

三、子弹的自转还有这样的作用。子弹形状的偏差导致的流体力学效应,在子弹转动的时候,就会被平均掉。比如说,起初由上而下(或由左而右)的气压差别,在子弹转动了180度以后,就会变为由下而上(或者由右而左)。

四、这些困难也可以通过尾翼来克服,就像飞镖或者导弹那样。但是做起来太麻烦了,不值得,还是用膛线让子弹旋转起来更简单。


简单总结一下。射击成功需要进行各种细致的修正,稳态条件的修正包括,风速、重力、射击位置和方向、温度和气压(空气密度)以及子弹的材质、造型初速度,动力学的修正主要是靠膛线让子弹转起来,靠的是陀螺效应和旋转平均效应。


射击这么一个小小的问题,需要考虑的因素都这么多,何况更加复杂的物理学问题呢?但是复杂归复杂,细致地分析逐个因素,终归是可以解决的。物理学的教学就是帮助你学习这种分析方法。


PS

显然,为了射击远处的目标,就要增大子弹的口径。因为阻力虽然正比于口径的平方,但是子弹的初始能量正比于口径的立方:口径越大,装药量也就越大。这是个体积关系,而风阻是面积关系。

依赖于射击的距离和子弹的初速度,射击问题的具体形式有很大差别,其中的主要矛盾也各不相同。飞镖比赛、十米速射、双向飞碟有自己的困难,高射炮和火箭炮还要考虑大气密度随高度的变化,洲际导弹乃至卫星的发射,更是要飞出大气层,考虑的侧重点当然也就各有不同了。




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