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力学教学笔记之数学工具 精选

已有 7899 次阅读 2016-10-31 20:17 |个人分类:个人看法|系统分类:教学心得


学习知识不是越多越好,越深越好,而是要服从于应用,要与自己驾驭知识的能力相匹配。

——黄昆


大学普通物理很重要,但是,大学普通物理很难教。一个常见的理由是,不会微积分没法学。

在学习大学普通物理的时候,确实需要高等数学的知识,但是,学生应该认识到,数学是学习和掌握物理的工具,不能为了数学而数学。很多学生没有认识到这一点。

利用舒幼生《力学》这本常用教材,我们简单讲讲大学普通物理中用到的高等数学知识。这本教材有个附录《数学补充知识》,其中包括行列式、矢量的代数运算、一元函数微积分、多元函数微积分,共四个小节、不到30页。从过来人的角度来看,这些内容虽然简略、但已经算是完备了。但是,我觉得,对于初次接触这些内容的一年级本科生来说,确实会有摸不着头脑的感觉——最多的感受可能是,这么一堆定义,它们到底是干什么用的?

我把这些内容讲了两遍。第一次是在最初的4个课时,第二次是在讲完第三章之后。我讲的东西非常简单,我觉得是常识,可是书上好像都不这么说,虽然我并不觉得自己讲的跟书上的有什么差别。 我讲的这些内容当然完全谈不上什么严谨,但是可能会对初次接触高等数学的一年级本科生有些帮助。

我是这么讲的。这些数学就是一些规则而已,跟小学的加减乘除、中学的一元二次方程什么的一样,知道这些规则、先照猫画虎地用起来再说。至于为什么这么定义,暂时先不要关心,至少不需要像学习数学分析那样寻根究底。


行列式、矩阵及本征值。

不用去关心行列式为什么要采用这样的递归式的定义;什么分母行列式或分子行列式,他们就是个定义,就是个规矩而已;行列式的各种性质,包括转置什么的,很容易根据定义看出来的,不过就是计算繁琐一点点罢了。关键是要知道,行列式就是求解线性方程组的一套系统方法,中学里用消元法求解二元或者三元一次方程组,行列式就是把这种方法机械化了。如果你有5个未知数,你就必须有5个独立的条件(也就是方程),才能得到唯一的结果;如果你只有4个或者更少的独立条件,这就是所谓的“欠定问题”,你会有一大堆满足条件的解;如果你有6个乃至更多的独立条件,也就是说方程的数目比未知数还多,“过定问题”,你就没有解。行列式只是告诉你如何简便地判定,所有的条件到底是不是独立的。系数行列式的值$\mathrm{det} A$等不等于零,就是这个判定条件。行列式等于零,说明条件数少于变量数,没有唯一解。

矩阵主要是用来做变换的。我们研究物理问题,经常要从不同的角度来看,最常用的就是换个参考系。矩阵就是告诉你怎么换参考系的。比如说,二维平面里的直角坐标系转动了一个角度$\phi$,那么转动前后的坐标就可以用某个矩阵联系起来,这个矩阵显然只依赖于$\phi$,具体的形式你记住就行了,当然,推导一下也很简单,而且有利于你记忆。

矩阵(不是上述的变换矩阵,就是随便一个矩阵)作用在某个矢量上,就会得到一个新的矢量,通常,这个新矢量没有理由与原来的矢量指向同一个方向——这个世界大着呢,每个矢量都有自己的指向自由。但是在一些特殊条件下,特定的矩阵、特定的矢量,最后得到的矢量就会指向同一个方向,而且这种情况碰巧在很多物理问题中都会出现,这就是本征值和本征矢量。


矢量的代数运算

这些都是规则,不管是矢量的加法、减法,还是好几种不同的乘法,都是规则而已。矢量的加减法,中学物理已经接触过,就是力的合成与分解,只不过现在更加一般化了,但是他们的几何表示仍然很有用。

力学中会用到标量和矢量。标量就是个数,矢量不仅仅是数,还有方向。同类才能加减,标量对标量,矢量对矢量。乘法却没有这么讲究了。标量乘以矢量,不改变矢量的方向,只是数量相乘而已。矢量乘以矢量,则有几种不同的方式。

两个矢量做乘法,得到的结果可以是个数,或者说是个标量,这就是“点乘”,其几何解释是两个矢量大小和二者夹角余弦的乘积,在“功”的概念中要用到;得到的结果也可以是矢量,这就是“叉乘”,其方向垂直于原来的两个矢量,其大小两个矢量大小和二者夹角正弦的乘积,碰巧等于这两个矢量组成的平行四边形的面积。需要注意的是,点乘不依赖于二者的顺序,而叉乘却不然:交换二个矢量的顺序,叉乘的结果会改变符号——所以要采用所谓的右手法则来帮助确认符号。

两个矢量做了乘法以后,当然还可以与第三个矢量做乘法,由此而至无穷。值得注意的是,$A\cdot(B\times C)$这样的三个矢量相乘的结果是个标量,碰巧等于这以三者为边的平行六面体的体积,而且与乘积顺序无关(除了符号);$A\times (B\times C)$则是矢量,而且这个矢量与$(A\times B)\times C$大不相同。

显然,对于初学者来说,这样定义的两种矢量乘法似乎没有什么显著的理由,有时候他们会困惑。其实不用担心,因为有一个最显著的理由,从来没有人说,因为写书的认为这是显而易见的:这样定义乘法,可以让很多物理公式表达得非常简洁,而且很多的成果证明,这样的定义便于使用。说白了就是,这样的定义很好使。如此而已。所以,初学者不用纠结,把它们搞熟了就行。矢量乘法会有一些恒等式,都可以直接了当地根据定义推导出来。


一元函数微积分

函数的概念,一一对应关系、反函数,等等,都在中学里学过,但是学生们往往对它们进行一般化的使用,或者说,头脑里没有建立适当的图像。有了这些图像,微分和积分的概念就很容易明白了。关键是不要钻牛角尖,把微积分当作工具就行了:物理里面碰到的函数都是连续的、光滑的、处处可微的,那些处处不连续的函数,或者处处连续但是处处不可微分的函数,你这辈子只会在数学分析的课堂上遇到。如果你认为上面这个看法是自然而然的,那么恭喜你,你非常适合做物理;如果你对这种看法不满意,觉得必须讲证据,那么也恭喜你,你是块学数学的料。

物理讲究因果,讲究的是由近而远,这个道理并没有什么了不起的,中国人好几千年前就知道,所谓的“修齐平治”而已:“古之欲明明德于天下者。先治其国。欲治其国者,先齐其家。欲齐其家者,先修其身。欲修其身者,先正其心。欲正其心者,先诚其意。欲诚其意者,先致其知。致知在格物。物格而后知至,知至而后意诚,意诚而后心正,心正而后身修,修身而后家齐,家齐而后国治,国治而后天下平。自天子以至于庶人,壹是皆以修身为本。”

真正了不起的地方在于能够用数学方法把这套想法实现了。我觉得,微积分就是帮助计算用的。举个例子吧,梁山泊108条好汉,其中有3位女将,那么女将的比例是多少?嗯,1/36,这个数挺整的,可是不好使啊。也有列出竖式、或者拿出计算器算的,嗯,2.77777%。其实对于搞物理的来说,最重要的是先要搞明白你自己需要多大的精度。比如说,如果一位数字就够了,那么就是3%,就把108当100好了;如果还想精确点,那么108跟100差个大约10%,那么结果就是也差10%,所以就是2.7%。如果还不满意,那么就是$3%\times \frac{1}{1+x} \approx 3%\times(1-x+x^2-x^3+......)$,其中,$x=0.08$,精确到$x$项,就是2.76%,精确到$x^2$项就是2.78%。根本就不用除法。

上面只是泰勒展开公式的最简单用途。随便一个函数$f(x)$,你站在某个位置$x_0$处,最简单的近似就是,认为这个函数是个常数,到处都等于$f_{x_0}$,这就是零阶近似;进一步认为在这附近不是常数,而是随着到该点的距离变化,变化率就是所谓的一阶导数$f'_{x_0}$ ,这附近的估计值就是$f_{x_0}+f'_{x_0}(x-x_0)$;如果这还不能让你满意,就再多考虑一项,把二阶导数搞进来,估计值就变为$f_{x_0}+f'_{x_0}(x-x_0)+1/2 f"_{x_0}(x-x_0)^2$;如此以至于无穷。

至于说微分、积分的求解法,都是现成的,不过花点功夫就是了。再就是利用中学数学知识,学会求几个简单的微分,就都明白了。中学已经学过二项式定理,$(1+x)^n=1+nx+n(n-1)x/2+......$,现在只需要知道,牛顿把这个公式的适用范围从整数$n$扩充到任何实数$p$了。随便算两个例子

$x^{7.8}$的导数是$7.8x^{6.8}$。

$(x+\delta)^{7.8}-x^{7.8}=x^{7.8}[(1+\delta/x)^{7.8}-1]\approx 7.8x^{6.8}\delta+...$

$\sin x$的导数是$\cos x$。

$\sin (x+\delta)-\sin x= \sin x cos \delta + \cos x \sin \delta -\sin x \approx \delta \cos x +...$

然后就是那些法则,两个函数的加减乘除后的求微分,复合函数的链式法则,反函数的微分(链式法则的特例而已,$f(g(x))=x$,所以,$f'g'=1$),隐含数求微分,都是一些规则而已,自己推导一次也很简单的。

积分就是微分的逆过程。牛顿-莱布尼兹公式说的就是这件事。常见的函数都可以求微分,也就是说有显式表达;但是,常见的函数不一定有积分的显式表达,但是肯定可以用所谓的黎曼积分方法来数值求解。无论怎么样,先用变元法把式子化简,总是没有坏处的。

微分常用于分析因果,而积分常用来计算数值。其实,数学是帮助物理求解问题的,只要能解决问题,什么方法都可以用的,为什么一定要精确解,不到小数点后第八位不甘心?比如说,积分常用来算长度、面积或体积,现在都可以用计算机进行数值计算的,或者你也可以简单估算。当年伽利略还是谁算旋轮线的面积,不就是把旋轮线画在纸上剪下来、称称重量就行了吗。


多元函数微积分

把单变量微积分搞明白,多变量也就是容易了,就是个简单的推广而已。原来你只有一个变量$x$,现在有了好几个变量$x,y,z$,那就一个一个来呗。偏微分就是先把一个当变量,其他都当成常量,然后大家轮着来;线积分、面积分和体积分,道理也是一样的。至于说什么交换积分顺序或交换极限顺序的合法性问题,刚开始的时候根本就不用想那么多。再说了,你们不还有几十个课时的高等数学课吗?

数学只是工具。数学家们已经把工具造好了,我们只不过拿来用用,而且用到的地方都没有什么稀奇古怪的玩艺,担心什么呢?


再说一遍:解决问题最重要,谁管你怎么做呢?古今中外都是如此,亚历山大解开绳结的方法,中国历史上也做过好几次,比如高洋的“快刀斩乱麻”,《北齐书·文宣帝纪》:“高祖尝试观诸子意识各使治乱丝帝独抽刀斩之曰:‘乱者须斩!’”

在学习物理乃至将来研究物理的过程中,有很多重要的事情要做,高等数学根本不算什么的,而是像黄昆先生说的那样:

对于创造知识,就是要在科研工作中有所作为,真正做出点有价值的研究成果。为此,要做到三个‘善于’,即要善于发现和提出问题,尤其是要提出在科学上有意义的问题;要善于提出模型或方法去解决问题,因为只提出问题而不去解决问题,所提问题就失去实际意义;还要善于作出最重要、最有意义的结论。




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