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力学教学笔记之碰撞问题 精选

已有 5763 次阅读 2016-10-26 14:28 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


昔者,共工氏与颛顼争为帝,怒而触不周之山,天柱折,地维绝。

——《列子·汤问篇》



谈谈碰撞问题吧。利用碰撞问题来讲讲大学普通物理中《力学》的基本内容。


首先,要有一个物体。当只有这一个物体的时候,它会保持静止或匀速直线运动,因为没有其他东西给它施加作用力嘛。这就是牛顿第一定律。

其次,碰撞最少还要一个物体。两个物体才会发生碰撞,它们会彼此施加力的作用。对于任何一个物体来说,力的作用会改变它的运动状态,运动的变化与所加的力成正比,并且发生在力的方向上。这就是牛顿第二定律。所以,碰撞后两个物体的运动状态都会发生变化。

然后,两个物体之间的相互作用力大小相等,方向相反。这就是牛顿第三定律。所以,两个物体作为一个整体来说,其运动状态在碰撞后不会发生变化。这就引入了质心的概念。同时,两个物体相对于彼此的运动比照质心参考系来说更快了,这就引入了约化质量的概念。

碰撞的过程中动量守恒。最便于描述碰撞过程的参考系是质心参考系,因为该参考系中的两个物体的总动量为零。碰撞前,每个物体的动量大小相等,方向相反;碰撞后,每个物体的动量仍然是大小相等,方向相反。但是碰撞前后的大小和方向都可以发生变化。知道了质心坐标系的碰撞结果,很容易转变到任何其他的惯性参考系中,比如说,实验室参考系。

在碰撞的过程中,动能没有必要是守恒的。两个物体可以粘在一起,这样它们就不动了,动能为零;两个物体的碰撞也可能引发爆炸,化学能或者核能可以转化为动能。所以,碰撞过程可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。弹性碰撞过程中,动能是守恒的;非弹性碰撞中,碰撞前后的动能不一样,通常说动能变小,甚至还引入了小于1的恢复系数来描述它,其实动能也是可以增大的。


这就是经典力学中的碰撞问题了。这样的碰撞涉及的物体大小和速度都与我们的日常经验相差不大。至少有两种不适用的情况。一种是碰撞体太小了,这就会涉及到量子力学;另一种是运动速度太快了,这就涉及到相对论。

多小算小呢?大约原子的尺度吧。此时的主要修正在于,碰撞的粒子不再是可以区分的,全同粒子的特性改变了碰撞过程的细节。质心系仍然是最合适的参考系,动量守恒也仍然满足,但是全同粒子的统计特性的差别(费米子还是玻色子)会导致散射方向分布的不同。

多快算快呢?大约光速吧。光速设定了物体运动速度的上限,运动速度接近光速的时候,物体的质量会发生改变,不同于静止情况下的质量。但是,相对论对碰撞过程的影响,仍然是对细节的修正。

高能粒子对撞机同时涉及了量子力学和相对论的修正,但是它仍然是个碰撞问题。特别的地方在于,碰撞的后果比较严重,碰撞前的是两个状态稳定的家伙,碰撞后可能就是乱七八糟的一堆疯子了。但是,他们也满足动量守恒,其能量和动量分布能够反映出碰撞的细节。高能物理学研究的就是这东西。


两体碰撞问题也可以很容易地推广到多体碰撞,乃至一个物体与流体的运动问题。

比如说,所谓的比萨斜塔实验。从多高的塔上扔铁球,才需要考虑空气阻力呢?铁球密度为$\rho_1$,半径为$r$,空气密度为$\rho_2$,下落高度为$h$,铁球质量与其排开空气的质量相近时,空气显然不能忽略。则,$\rho_1 r^3 \sim \rho_2 r^2h$,即, $h \sim (\rho_1/\rho_2)r$。也就是说,这个高度是铁球半径的几千倍。几厘米的铁球,塔高大约几十米。显然,如果把球的尺寸缩小几万倍,到达微米的尺度,这就是雾霾悬浮在空气中的原因了。

当然,上面的估计只是个很粗糙的上限,根本没有考虑物体运动速度的影响。考虑进来也不难,换个例子,谈谈风阻吧。Blowing in the wind,看起来很酷,其实阻力蛮大的。物体的运动速度为$v$,截面积为$S$,空气密度为$\rho$,单位时间内排开的空气质量就是$\rho S v$,这些质量也获得了$v$,所以阻力就是$\rho S v^2$。当然,这只是估计值,显然还差了系数,所谓的风阻系数,主要是由物体外形决定的,我们通常说的流线型外壳,讲的就是这个。不管节能要求高的电动车、底盘要求特别稳的赛车,还是速度非常快的高铁、飞机和火箭,都很讲究这个,而且这玩意也不完全是靠算出来的,主要还是靠风洞来吹。显然,这种估计也可以用来讨论降落伞。


有碰撞就是分离。火箭发射也可以看作是一种碰撞过程,只不过我们通常认为它是分离。当然可以用微分方程来描述火箭发射,但是理解其中的物理,根本就用不着这么复杂。我们都知道,“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”把它当成火箭好了,切掉一半往后一扔,前面的一半就往前走,速度为$v$;把往前走的这一半再切掉一半,往后一扔,前面的速度就变为$2v$;如此下去,切$n$次,前进的速度就是$nv$,剩余的火箭质量就是$1/2^n$。显然,这就是火箭运动微分方程里得到的$v\ln m_0/m_f$,只是差了个$\ln 2$而已。

火箭靠自我牺牲才能前进,其实也有凭借外力的方法,而且也是个碰撞问题。“好风凭借力,送我上青云”,风口上的猪,不就是这样的吗?甚至连风都不用,太阳光就可以。太阳光把风筝晒脱一层皮,风筝也会往前跑,这是克鲁克斯管;太阳光被反射,风筝也会往前跑,这就是太阳帆,来自于光子的动量;在非常特殊的情况下,晒太阳甚至可以让你舒服得团团转,这就是雅科夫斯基效应;如果你会忽悠,还可以考虑用激光,玩个飞跃人马座的大游戏。


好了,上面这些例子都是瞎比划,而且是非常随意地挑选出来的,他们甚至都没有什么精确解。最后,再举几个真正了不得的碰撞例子,算是向数学致敬吧。

宇宙级别的,传说中的黑洞吸积盘和今年大热的双黑洞旋转;星体级别的,引力弹弓,月球上的陨石坑,以及恐龙灭绝的原因;宏观大小的,弹道导弹和反导系统;分子级别的,布朗运动,各种化学反应;原子级别的,康普顿散射,激光冷却;原子核级别的,卢瑟福散射;基本粒子内部的,夸克的渐进自由。

甚至还有把微观粒子和宇宙环境联系起来的碰撞,比如说,著名的“我曹”粒子(Oh-My-God particle),单个氢原子核的能量达到了$10^{21}$eV,之所以让大家迷惑不已,大呼“卧槽”,就是因为一个简单的碰撞问题,限制了这种能量的粒子的出发点到地球的距离:超高能量的粒子会和宇宙微波背景辐射中的微波光子发生碰撞,从而产生次生粒子。简单的估算,可以知道,这么高能的粒子,与地球的距离不会超过100万光年,可是,在一百万年这么小的尺度里,有什么机制能够产生这么高能的粒子呢?如果你也想不出来,那么就只好说声“握草”了。


其实,碰撞很常见,碰撞也很简单。

更重要的是,碰撞的发生其实很偶然,就像你偶然读到了这篇文章,就像张爱玲偶然发出的感慨:

于千万人之中,遇见你要遇见的人。于千万年之中,时间无涯的荒野里,没有早一步,也没有迟一步,遇上了也只能轻轻地说一句:“你也在这里吗?”




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