博文
Portfolio theory from Hilbert space
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证券市场的无套利假设（即不存在空手套白狼的机会）包括线性定价法则和正线性函数两部分。资产定价基本定理给出了无套利的充要条件是等价鞅测度的存在，证明可以在完全市场情形和不完全市场情形下。不完全市场情形下如果要显现经济意义，用hahn-banach延拓定理的证明思路；数学上，直接使用凸集分离定理即可。（这个经济问题完美的体现了hahn-banach延拓定理与凸集分离定理的等价关系）。
资产定价第二基本定理，一般说法是完全市场下，资产可唯一定价。事实上，这一定理在效用函数强单调假设下，论证了一个最优投资消费问题解的存在性与无套利假设互为充要条件。这一论证说明无套利假设不但是一般经济均衡的推论，甚至是一般均衡的前提，否则没有一个经济活动者能使其效用最大。衍生品定价一般都是直接从无套利出发。最初在经济学家是不满意的，因为经济学家认为一切经济现象必须在均衡的框架下讨论。以上正是解决了这两者的关系。从此，可以摆脱一般均衡这一个沉重的枷锁。
投资组合理论一般都是假定市场有有限种有风险的基本证券，给定收益率期望及协方差矩阵，做一个优化就可以。外加一个无风险证券，平面几何分析即可获得capm。
另一个角度是，增加一个新的证券不改变既有证券组合前沿的充要条件是什么？这种分析角度下，也可以获得capm。
如果我们直接从未定权益希尔伯特空间出发，投资组合理论其实就是收益率向量的正交分解理论，在连续线性定价函数假设下。另外是在一个收益率的仿射空间上讨论优化问题是没问题的。反过来，由收益率构成的仿射空间与0张成的希尔伯特空间，可以作为未定权益空间，然后由不存在零收益率及Markowitz意义下组合前沿的存在，可以导出线性定价法则。
在b-s期权定价理论出现之前，金融经济学的核心，可以说，就是寻求二维平面空间下的两个基向量的问题。
这种无穷维空间法的一个重大好处体现在
Ross的渐近无套利假设上。Ross一开始就引进无限个基本证券，使得问题必须在无穷维空间下考虑。事实上，他试图解决的问题是能否用有限种证券对无限种证券近似定价。首先，一个极其重要结果是连续线性定价函数与渐近无套利假设是互相等价的。之后，证明了多因子模型中的扰动项的期望的平方和是收敛的，这提供了用有限种证券给无穷证券定价的可能性的理论根据。也提供了对金融市场实证研究的一个角度。
所以，连续线性定价法则确实是整个金融经济学公理化体系的核心所在。惊讶之处在于看似极其复杂的框架其实都是源于连续定价函数的存在。这种函数并不是不自然的东西（从常识出发）。
如果两个投资组合分别是Markowitz的均值方差问题对于两个不同期望收益率的解，那么整个有效前沿对应的投资组合即为这两个有效组合的仿射组合，这就是托宾的二基金分离定理。现实意义就是，在现实金融市场只需要找到两个业绩优异的共同基金，投资者只需要考虑如何搭配这两种基金即可，而不必考虑全体证券如何组合。
在未定权益Hilbert空间框架下，由随机折现因子与无风险证券的模仿组合（称为a和b）两者张成二维子空间。由Hansen-Richard正交分解（数学上对应Hilbert空间的正交分解定理），我们可以得知连接a和b对应的收益率的直线就是收益率的极小风险组合全体。在这个框架下，二基金分离定理说的事情变得很简单，即直线上任何两个点可以确定这条直线。
这两个框架本质是一回事！！！
公司金融的基础 MM定理（Modiglian Miller，1958）是线性定价法则的一个直接推论，其说的事情是公司价值与其资本结构，即债权股权比例，无关。此结论建立在信息完全透明基础上，如果存在信息不对称，理论上就不对了。而现实中，公司的债权股权比例是有讲究的，所以信息问题是必须引入模型的。
线性定价的框架是整个金融经济学公理化体系的核心！
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