琢磨线性泛函的几个重要说明:
1.hahn－banach定理的证明依赖zorn lemma，这个东西与选择公理等价。凡是用选择公理的结论都要极其小心，因为这触到了数学整个体系最底层的问题。选择公理说的是在无数个非空集合中，我们可以从每一个集合中取一个元素出来。构造主义的数学家不承认选择公理，因为人没有经历过无穷，他们认为这选择公理断言了 不能说出是什么的对象 的存在。（1927年hahn首次完成banach空间上的泛函延拓定理的证明，两年后，banach得到同样结果，并看到推广形式，此形式在后来的局部凸拓扑线性空间上起了重要作用）
如果要问整个线性泛函分析中最重要的定理，只能选择一个，那么必然是hahn－banach定理。
2. 共鸣定理，这个定理首次被hahn在1922年首次提炼出来，用的是所谓滑动峰的方法，直到1927年，steinhous和banach用巴拿赫空间的第二纲性证明，这个证明正是如今的泛函分析教科书上的版本。
整体上说，泛函分析作为一个学科的发展，主要是围绕着对偶理论和算子谱论展开的，前者有几何味道，后来有代数味道。学习泛函分析可以用这种角度去学习，大有好处。
一些题外话:构造主义数学家甚至不接受排中律，即是非之间，必居其一。希尔伯特说: 从数学家手里拿走排中律，如同夺去天文学家手中的望远镜或禁止拳击运动员使用拳头。
金刚经中很多话本质上是与排中律相反的，比如"凡所有相，皆是虚妄。若见诸相非相，则见如来"，"所谓佛法者，即非佛法"，"所言法相者，即非法相，是名法相"。
排中律在现代主流数学里是合法的，所以可以说，金刚经的层次比数学更高。
所谓的自然科学，研究对象是我们生活的周遭世界，是承认人的感觉人的经验的合理性的，其终极目的也就是让人类在这个现实世界更舒适一些；
数学框架本质上给出的是客观世界可能的形式，是"可能的"，相比自然科学，数学要更追求严格性，不承认人在这个世界获得的经验及感官认识，因为数学寻求的终极目的并不仅仅在于我们所处的这个世界，而是寻求更普遍的真理，欧式几何和非欧几何就是例子。这里又回到选择公理，如果是从有限个集合中，在每个集合中拿出一个元素来，这个我们所处的空间下是成立的，这一点是没有问题的，所以无论承认不承认无限集合的选择公理，并不会影响我们在这个空间下的问题；
至于哲学，就比数学更加的广泛，从金刚经的不默认排中律就可看出来，我绝对是认可哲学的价值的，虽然它跟你买房子买车有面子一点关系没有，但是它试图解决的是人的终极问题，一个严肃思考的人逃不掉的问题，至少在死前会让人极其不安的问题。
我想，这种不断试图超越自身所受的感官经验限制的理性思考，也正是人的自由意志的体现，这也正是康德所谓的纯粹理性。在自然界，一切是被决定的，理性只能服从自然规律；在实践领域，理性是自由的。