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一个绝妙的关于BM在管理科学中做需求假设的论证
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一个绝妙的关于布朗运动在管理科学中做需求假设的论证。
布朗运动在起源是描述分子运动，之后在数理金融领域得到广泛应用，例如股票价格，利率的波动过程，包括在金融里的现金流管理问题中用来模拟现金流过程。进到管理科学领域，开始有文章用漂移布朗运动模拟商品累计需求。但是漂移布朗运动有一个问题，理论上可以为负，并且轨道并不一定递增。股价从最初Bachelier的漂移布朗运动被 Samuelson改进为几何布朗运动的一大原因就是避开负的股价。
大部分管理科学领域的文章的解释是有卖出同时有退货,是两个递增过程的差过程，这个论证用来解释轨道可能递减。 但是，数学上受过严格分析训练的人一眼可以看出其中的谬误，布朗运动的轨道具有无穷变差的性质，而两个递增函数的差函数一定是变差有限的，理论上如此论证是不充分的。
事实上，如果两个递增函数在一个中等长度区间上变化都很大，并且交叠着，差值不是很大，这种时候这个差函数的变差可以近似为两个原始函数的变差，这个变差相比它的值是大很多的。 这个时候，用布朗运动描述是合适的。 所以金融上现金流管理模型上现金的大量进出导致的net cash flow非常符合这一条件。
另外众所周知，布朗运动是唯一的有连续轨道并且满足平稳独立增量的过程。
综上，Brownian motion may reasonably approximate the netput process for a system of stationary, continuous, balanced high-volume flow, where netput increments during non-overlapping intervals are approximately independent.
联想到queueing theory中diffusion approximation的heavy traffic condition,要求顾客来到速率接近服务速率这个条件，再次验证以上的论证。
为什么vehicle dispatching model 不太敢用布朗运动而只敢搞泊松过程 的原因，我想也正是因为在大速率这个条件上不是很符合。这也是我在供应链的shipment consolidation问题上敢做布朗运动假设的一个优势。
布朗运动框架下,最优美的事情是，有一些可以出闭环解, 这一点是经常很让人意外的，因为布朗运动的轨道性质太诡异了，不像是可以整出闭环解的东西。最基本的说，无限变差导致伊藤微分出现二阶导项，在最优控制框架下, 引出的是二阶微分方程。
在布朗运动的instantaneous control问题中，最优控制器是连续的，递增点集的不可数的并且Lesbesgue测度为零。如此奇怪的控制器人类是无法实现的。但是该框架的美感是毋庸置疑的。这也是为何把此类控制问题称为奇异控制了。
Black-Schole期权定价能拿诺贝尔奖并且广泛应用，跟这个闭环解有一定关系。在如此诡异的过程假设下，加上奇怪的截断边界条件，还有闭环解。
自然总是不断的呈现自相似性，在微观尺度和宏观尺度上。所以，很有可能，布朗运动在某个空间下，是自在实体，而不仅仅是人类思维的产物。
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