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点过程的随机积分理论框架
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点过程的随机积分理论框架整理如下：
1. 一个出发点，如果N(t)是速率为a的泊松过程，那么N(t)-a t 是一个鞅。 更强的结论是，如果某个点过程 N(t)，如果存在某个a, 满足 N(t)-a t 是一个鞅，那么它一定是泊松过程。 在微元的观点下，这个a 是一个intensity. 对于一般的点过程，可以通过这种intensity process构造相关的鞅，从这个角度来研究一般的点过程。 显然，在随机积分理论框架中，泊松过程在点过程中的地位，相当于布朗运动在扩散过程中的地位。2.在Ito 积分下，即integrator 是布朗运动，被积函数如果是一个平方可积的可适应过程，得到的随机积分便是一个鞅。在点过程的随机积分框架下，即，integrator 是一个有界变差的鞅，要使得随机积分是一个鞅，被积函数要求的measurability 的条件更强，需要满足progressive predictability( 这个条件强于单纯的predictability , 因为还需要扩充时间维，得到增广的filtration). 事实上，点过程的随机积分可以在逐条轨道上积分，因为integrator 是有界变差的，而不需要Ito 积分的L2收敛。
3. Ito 微积分框架下的鞅表示定理，在点过程的积分框架下，是否有类似结论？这是一个深刻的刻画。
4. point 1中提到, 点过程可以通过jump intensity 来研究(工具是鞅观点)，一个自然的问题，在绝对连续的概率测度变换下，这个点过程的intensity 如何变化？在Ito 微积分下,对应Girsanov 定理。
解决如上四个问题，也就理解了点过程的随机积分框架，进而为研究点过程驱动的随机动态系统的最优控制理论框架做好准备。
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