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bang-bang原理的泛函分析证明
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令A是m维欧式空间中的[-1,1]^m, 即中心在原点的单位方体。控制器是m维，每一维取值在-1到1之间，也就是说，控制器取值属于A.
再定义bang-bang类型控制器，也就是每一维上取值的绝对值始终都是1的控制器。bang-bang 原理:
对于一个线性系统，如果存在某个控制器使得系统状态从初始时刻x0在t时刻可以到达原点，那么一定存在bang-bang 控制器，也可以使得系统状态在t时刻到达原点。
这个定理利用泛函分析的Krein-Milman 定理,陈述如下:一个集合K如果是本质有界函数空间中的非空凸子集，并且是弱星拓扑下的紧集，那么K一定存在极点。
为证明控制理论问题中bang-bang原理，我们定义K为A中所有可以使得系统经过t时间，从初始状态x0跑到原点处的控制器 形成的集合。
接下来，验证这个K满足Krein-Milman定理所有前提，所以K 存在极点， 接下来，利用反证法证明，这个极点就是bang-bang控制。
验证弱星紧性这一条件，用到Alaoglu定理，这一步很巧妙的利用上了线性系统状态转移上的一个积分关系，所以有弱星收敛的概念的自然导出。
这是另外一个展现泛函分析在应用领域威力的例子。 无非想说的是，泛函分析非常有用。无用之用，方为大用。
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