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优化中起到关键作用的几个泛函分析结果
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在优化中起到关键作用的最重要的几个泛函分析结果:
第一个投影定理，在三维空间中无非说的是一点到一个平面的最短距离就是垂直线段。在希尔伯特空间有直接应用，如最佳逼近，傅立叶级数；第二个是Hahn-Banach定理，有延拓形式和几何形式，延拓形式为最小范数问题提供新途径，几何形式引出凸集分离定理，而凸集分离定理又是优化中对偶定理的关键；凸集分离的几何直观即对于两个不相交的凸集，总可以找到一个超平面来隔开；
三是对偶性，直观几何关系即，从一点到一个凸集的最短距离，等于从该点到所有分离此点与凸集的超平面的最大距离。泛函中的对偶空间，伴随算子，不是空穴来风；
四是变分，或者说泛函的Gateaux微分与Frechet微分，即欧式空间中方向导数和全微分的推广。几何直观也就是目标泛函的极值点处的切超平面是水平的。
以上每一件事情，还可以进一步抽象化。
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