概率理论中著名的Helly' principle: 实轴R上一列概率测度P_n必有子列弱收敛到一个测度μ，这个μ（R）≦1，可能严格小于1. 这个定理的重要性不需要说明，在统计学，计量经济学的前沿中有重要地位！
一个很有意思泛函分析的证明如下:
Step1: 点集拓扑中的Tikhonov
定理，说的是，如果S_t是紧空间，那么乘积空间 ∏_｛t∈T｝S_t也是紧空间，T是非空 index set。（众所周知，此定理证明依赖zorn lemma）。
Step2: 泛函分析中的Alaoglu定理，说的是,X是一个巴拿赫空间，其对偶空间的单位闭球在弱星拓扑下是紧的。（此定理证明依赖Tikhonov定理）这个定理本身在泛函分析中就非常重要，因为:连续函数在紧集上能取到极大极小值，另外，弱星拓扑是使得 函数族（这种函数把巴拿赫空间的对偶空间元素F 映射到＜F,x＞，即
F---->＜F,x＞。每一个x，对应一个这样的函数）连续的最弱的拓扑。
Step 3: 分析中的Riesz定理，说的是，S是一个局部紧拓扑空间，C0(S)是其上的在无穷远处为零的连续函数的空间，那么，F是C0(S)上的线性泛函当且仅当存在S上的一个有限符号测度μ，使得，F x=∫s xdμ。并且，‖F‖等于μ的全变差。
此定理重要性不言而喻！！！
Step 4: S是一个紧拓扑空间，P_n是其上的一系列概率测度，由Step 3的Riesz定理，会有一系列C(S)上的线性泛函F_n与P_n对应, 并且‖F_n‖≦1。再由Step2的Alaoglu定理（此时该定理中的巴拿赫空间X是C(S)），F_n序列中会有子列收敛（弱星拓扑下的弱星收敛）到C(S)上的一个线性泛函（此处就是紧的妙处），令其为F，并且‖F‖≦1,F(1_S)=1。再根据Riesz定理，有一个S上的概率测度P与F对应。综上，我们证明了，紧拓扑空间S上的一族概率测度，必有一列收敛（此处是弱收敛）到S上的一个概率测度。
Step5: 回到Helly' principle陈述: 实轴R上一列概率测度P_n必有子列弱收敛到一个测度μ，这个μ（R）≦1，可能严格小于1.
为何这里μ（R）可能严格小于1，仔细观察会发现，问题在于R不是紧拓扑空间，而是局部紧拓扑空间，所以与之对应的Riesz定理中的C0(S)就是C0(R)，即在无穷远处为零的连续函数空间，注意到step 4中的常函数1_S（即1_R）不属于C0(R)。
点集拓扑中我们知道，对于一个局部紧拓扑空间，我们可以用one-point compactification的技术在原空间上加一个点再附加合适的开集定义，可以把原来的局部紧拓扑空间变为紧拓扑空间，用这种办法处理一下R, 变为R*，它是一个紧拓扑空间。
在这个想法的诱导下，我们可以把P_n看成R*上的概率测度，根据step4，P_n中有子列弱收敛到R*上的一个概率测度μ，显然μ（R*）＝1。R*比R多一个点，在那个点上很可能有probability mass, 所以μ（R）可能严格小于1。
至此，用泛函分析的观点完全说明了著名的Helly' principle。