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Stone-Weierstrass定理的一个泛函分析证明
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一个精妙绝伦的关于 Stone-Weierstrass 定理的非常见教科书证明的证明，用Alaoglu 定理和Krein-Milman 定理来证明著名的Stone-Weierstrass 定理，即： 令X是一个紧空间，A是X 上所有连续实值函数集C(X)的一个代数(即线性结构加一个环结构)，这个代数可以separate X 中不同点(即对X中任意两个不同的点x和y，总是可以在这个代数中找到一个元素f, 使得f(x)≠f(y))，并且包括常函数。那么，A在C(X)中稠密。
证明分析： 由spanning criterion, 欲证A在C(X)中稠密，只要证明，对于任意 C(X)上线性泛函 r , 如果r is 0 on A, 那么r 恒为0. 我们知道，C(X)上的线性泛函是有限符号测度空间。所以我们要证的是，whenever ∫ f dv =0 for all f ∈ A, then v ≡0. 令U 是the collection of 有限符号测度v, with ||v||<=1, such that ∫ f dv =0 for all f ∈ A。 (U 是凸的，闭的) , 我们要证明 U 只包含 zero measures 。 反证法， suppose not.
第一步： 由Alaoglu 定理， U is weak * compact (因为紧集中的闭集是紧集)。再由Krein-Milman 定理， U 至少有一个极点， say μ。 如果唯一的极点是0，那么the closed convex hull of {0} is 0, 矛盾(假设了U 包括非零测度)， 所以 μ ≠ 0。 我们必须有|| μ||=1,否则很容易可以构造 μ成为两个U 中元素的真凸组合，与 μ是极点矛盾。
第二步： g 为A中取值in (0,1)的函数。
令a=|| gμ ||, b= ||(1-g)μ||, 那么
gμ /a∈U, (1-g) μ /b∈U, a+b=1, 并且
μ =a* gμ/a+b* (1-g) μ/b。最后一式把μ写成U 中两元素的凸组合。 因为 μ是极点，我们有 μ = gμ/a， 所以g 是一个constant a, a.e. with respect to |μ|, the total variation measure of μ。
第三步：对于 X 中任意不同两点p,q, 由定理假设，存在h ∈A, 使得h(p)≠h(q)。由A 的代数性并且包括常函数，我们可以通过对h 加一个足够大的常数使得h 为正，再乘以一个常数，使得h 取值in (0,1)。我们把这个h 取为第二步中的g， 我们知道g=a a.e.。 所以 |μ|不可以 assign positive mass to all sufficiently small neighborhoods of p and of q。
第四步： 定义一个集合D, x ∈D if |μ| assigns positive mass to every neighborhood of x。 由第三步，我们知道，D 中只能有一个点，令之为x0。 如果G 是任意包含x0 的开集，那么G^c(G 的补集)是闭集，所以也是紧集(因为紧集中的闭集还是紧集)。 G^c中的每一点都有一个开邻域，to which |μ| assigns zero mass。 由 G^c的紧性， G^c可以被其中的有限个开邻域覆盖。所以 |μ| assigns zero mass to G^c。 注意，this is true for every open set G containing x0, 所以， |μ| 是x0上的point mass。
第五步：在第四步，我们证明了， μ is a pont mass (or the negative of a point mass) at some point p。 取f ≡1 ∈A, 我们有
∫ f d μ =f(p)=1 ≠0， 这与μ ∈U 矛盾。所以，U 中只能有zero measure。
至此，证明了著名的Stone-Weierstrass 定理。 BEING CRAZY !!!
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