数学的每一次进步，都和数学哲学、至少数学家的哲学思想密切相关。反过来，数学的每次进展又都向数学哲学提出自己的问题。

■胡作玄

《数学的意义》是十位大家谈论数学哲学的文集。简单说，数学哲学的首要问题是“数学是什么？”但是这个问题就不像其他许多学科那样有一个大多数专家公认的、比较明确的答案。例如化学，多数人同意它是“研究物质的组成、结构、性质和变化的学科”，而数学则不然。这使我们想起100多年前，大哲学家、数学家，也是数学哲学家的罗素说的一句俏皮话：“数学是这样一门学科，关于它，我们不知道我们谈论的是什么，也不知谈论的是否为真。”正因为如此，它带来一系列的数学哲学问题。例如，数学是不是一门自然科学？它同物理学有什么区别？数学研究是发现还是发明？数学对象是不是客观存在？数学为什么具有不可思议的有效性……这一系列哲学问题在本书中多少都有触及，你对它们感兴趣吗？

理论上讲，对数学哲学感兴趣的人至少应该对数学本身有一个大致的、全局的了解。当然，这并不是一件容易的事。20世纪前半叶，庞加莱、希尔伯特、赫尔曼·外尔、冯·诺伊曼可能是全面理解数学的大数学家。到20世纪后半叶，也许只有布尔巴基集体才能做到这点。到了21世纪，专业化浪潮已经席卷整个数学，很少人能与时俱进地、哪怕是肤浅地了解整个数学，而这恰恰是研究数学哲学的必要条件。这里，我们只能粗略地把整个数学分成相互关联的三大块：初等数学、应用数学、纯粹数学。每位受过基础教育的人，都觉得自己懂点数学，他们所懂的数学，诚然天天都在用，却并非现代数学哲学的合适基础。数学不可思议的有效性首先表现在微积分和数学物理方程方面，没有它们，现代物理学可以说寸步难行。在牛顿与莱布尼茨创立了微积分之后，他们都受到许多哲学家的非难，其中最著名的是英国哲学家巴克莱。为微积分（数学分析）奠定严格基础花了数学家两个世纪（18、19世纪）。

而紧接着数学分析基础的建立，立即促成集合论的诞生。康托尔的无穷集合论带来数学家之间的大辩论，从而导致带来哲学性质的数学基础危机，过去简称为第三次数学危机。集合论带来的大麻烦实际上来源于对我们的常识或直观论断“整体大于部分”的哲学态度。拥护它的保守派只能在有限的范围内讨论问题，而打破这个禁忌则促使全新的纯粹数学的产生，我们不妨称之为结构数学，例如抽象代数学和一般拓扑学。这些新的抽象数学原来似乎只是数学家的头脑游戏，后来却证明它们在各个领域有着各种奇妙的应用。这使诺贝尔物理学奖获得者威格纳惊呼“数学不可思议的有效性”。这也推翻了英国大数学家哈代（他可以算华罗庚的老师）的两个教条：一是他所做的数学（主要是数论）是没用的，既对人类无益也不对世界有害；二是谈论数学本身不是数学家应该干的事。这也可以说是哲学家干的事，而哲学对于数学也没啥用处。

近百年来，纯粹数学抽象数学大有用武之地早已是不争的事实，就连哈代标榜的数论在物理领域也很有用，这可从最近名为《数论与物理通讯》的期刊问世即可明白。虽说数学无用论现在不太有人讲，但第二个教条，哲学无用论的确大有市场。正如笔者在《数学是什么》一书中谈到的，哲学和数学都是“万学之学”，因为它们都几乎涉及所有学科。但它们至少有两点不同。首先，哲学可以分为两大块：学院哲学（主要是形而上学、认识论、价值论、形式逻辑）和实用哲学（教育哲学、法律哲学、政治哲学、科学哲学等），没有对应于初等数学的初等哲学。其次，任何数学问题大都有标准答案，一般来讲非对即错，而哲学则没有，这也反映在《数学的意义》一书中，每位专家的论文后面，都有另一位专家的批评文章，有些甚至是针锋相对的，这种事在数学论文中是很难想象的。

这样本书对于习惯定式思维的中国读者无疑是很好的思维训练。可以看看大专家是如何思考、如何谈论数学的。不管怎么说，听听大数学家对数学的看法，对于普通读者理解数学还是很有好处的。本书十位专家中，有三位是数学家，高尔斯是菲尔茨奖得主，最近出版的《普林斯顿数学伴读》主编。彭罗斯是与霍金同等级别的大科学家，从宇宙论到人工智能都有独到的见解。他的文章让人想到波普尔的科学哲学，特别是三个世界理论，从中可以看出，哲学对前沿数学家是多么重要。除了前面所说庞加莱等四位大数学家之外，还有亚里士多德以后最伟大的逻辑学家哥德尔，他们都十分清楚自己的数学哲学见解，有这方面的论文乃至专著问世。而哥德尔更是公开宣称自己的思想来源是康德哲学。这多多少少有点像推动20世纪物理学革命诸大家：普朗克、爱因斯坦、玻尔、波恩、海森伯、薛定谔等人，对于他们，哲学是思想的推动者。

总之，数学的每一次进步，都和数学哲学、至少数学家的哲学思想密切相关。反过来，数学的每次进展又都向数学哲学提出自己的问题。数学变得如此博大精深，哲学不可能不在场，不过由于数学的难度，数学哲学仍处在其初级阶段。

如果要进一步研讨数学哲学，书末的文献是一个极好的选择。阅读本书，肯定会对数学、哲学、数学哲学有新的认识，只是多少得有点基础。

《数学的意义》，[英] 约翰·查尔顿·珀金霍恩主编，向真译，湖南科学技术出版社2014年1月出版