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埃舍尔的变换
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| 埃舍尔的变换 |
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■梁进
▲《变形I》
▲《天与水》
变换，是指将事物的一种形式或内容换成另一种，而在数学上的含义则是指将一种状态或一个空间转到另一个。这种转换形式可以是渐变，也可以是突变；可以是必然，也可以是或然。最简单的变换就是相对熟悉的平移、旋转、反射等简单的图形变换。抽象一下，最简单的数学变换形式就是函数，它建立了一组称为自变量的数和另一组称为因变量的数之间的关系。再进一步说，从一个函数转换成另一个函数也叫变换。找到一个方法将这两个函数连起来，沿着连接的路径从一个函数走到另一个函数，并且把这个路径记录下来，就可以看到函数是如何变换的。
意思表述起来太过抽象，读者读起来也稍显晦涩，然而埃舍尔却能用他的画笔轻松形象地表现出来。埃舍尔把这种变换称为变形，通过图形的渐变，把一种东西变成另一种东西，作品《变形I》（Metamorphosis I，1937）就是他在这方面的代表作。这幅画将人渐变成一座城市，欣赏这幅画可以把人和城市看成是两个函数。埃舍尔的画完美地复原了这个渐变过程。
而在作品《变形II》（Metamorphosis II， 1940）当中，埃舍尔通过棋盘、蜥蜴、蜂巢、鱼、鸟、立方、城市、棋盘又循环完成了一个周期，并且来回的路径是不一样的。
在计算机发达的今天，我们可以通过计算机将很多不同的图形连接起来，比如将两张不同的脸连起来，然后展示从这张脸变成另一张脸的渐变过程，这与埃舍尔的画有异曲同工的效果。然而埃舍尔却是在没有计算机的年代感悟到这过程背后的数学。
其实埃舍尔走得更远。如果我们说的两个函数在不同的空间里，又将如何变换？原来的方法可能不太适用，因为不可能找到一条直接的路径将它们连起来。在数学上则可以通过“加参数”的手段构造一个新的函数，而原来的两个函数分别是它们在各自空间的“投影”。如果这两个空间分别叫作虚空间和实空间，那么这个函数就定义了复空间上的一个复变函数，从另一个意义上来说，它连接了虚实两个空间。通过这个复变函数，我们就可以把实空间的函数渐变到虚空间的函数。那么埃舍尔又是怎样来表现这件事的？
在作品《天与水》（Sky and Water I，1938)中，埃舍尔也画出了一种渐变，与《变形》不同的是，不是物体的直接变形，而是背景与物体同时变形，互为衬托。欣赏这幅作品可以把水看作是实空间，天看作是虚空间。这幅画里两个空间共存，各有特征，互为背景，通过渐近完成了从实空间的鱼到虚空间上的鸟的变换。两个空间的两种生物以这样的形式连接起来，真是“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”！
《中国科学报》 (2014-04-18 第19版 雅趣)
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