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『读文献』(十六)生成湍流速度场

已有 4198 次阅读 2013-5-25 21:20 |个人分类:读书|系统分类:科研笔记| 读文献

       之前讨论过速度场的傅里叶变换,并用这种方法产生速度场(http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=117333&do=blog&id=561399)。实践中发现诸多问题,重新审视这个问题,发现实际上之前读的文献中已经有一些线索(http://blog.sciencenet.cn/blog-117333-650615.html)。就应该按湍流中的推导去生成速度场,而不是进行三维的傅里叶变换。
       具体地说是这样的
$v_l^2\sim \int^{\infty}_{2\pi/l}E(k)dk\propto \int^{\infty}_{2\pi/l} k^{-\beta}dk\propto l^{\beta-1}$

$E(k)\propto v(k)^2$
如果$<v_l^2>^{1/2}\propto l^{\gamma}$,$v(k)\propto k^{-\delta}$,则由上面的式子可以发现

$\delta=(2\gamma+1)/2$。



      检验所生成的速度场的时候使用结构函数
$S(L)=\langle [v({\bf r})-v({\bf r}+{\bf L})]^2\rangle$
可以看出这和CVD的定义是相同的,不同的是,结构函数是要求有周期性的。
      理论上

$S(L)\propto L^{2\gamma}$
检验的时候可以得到两个$\gamma$,一个是先对各组$S(L)$值平均得到$\langle S(L)\rangle$,然后拟合得到$\gamma_E$,另一个是先对各组$S(L)$值拟合得到一组$\gamma$,然后平均得到$\langle\gamma\rangle$。拟合的时候只用$L=1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...$的$S(L)$。


     检验速度场还可以用主成分分析(PCA)的方法。具体说是这样的。假设数据块为$T(x_i,y_i,v_j)\equiv T(r_i,v_j)=T_{ij}$,其中$r_i=(x_i,y_i)$。假设数据在$x$方向和$y$方向的大小分别为$n_x$和$n_y$,一共有p个速度通道。定义协方差矩阵
$S_{jk}\equiv \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}T_{ij}T_{ik}$
其中$n=n_x\times n_y$。求协方差矩阵的本征值问题
$Su=\lambda u$
得到本征值$\lambda_{l}$,相应的本征向量为$u_{l}$,将本征值按大小顺序排列。随后可以得到二维的“本征图像”

$I^{l}(r_i)=\sum^p_{j=1}T_{ij}u_{lj}$
其中$u_{lj}$是本征向量$u_l$的第$j$个分量。这个“本征图像”就是对各速度通道图加权的积分。有了本征向量、本征图像以后就可以对速度以及空间分布中的结构进行分析。



参考文献
Brunt, C. M. & Heyer, M. H., ApJ, 566, 276




http://blog.sciencenet.cn/blog-117333-693433.html

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