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练习(一)含有$x^n$和$a^p\pm x^p$的积分

已有 2682 次阅读 2013-5-1 14:39 |个人分类:知识|系统分类:教学心得|关键词:积分,练习| 练习, 积分

《实用积分表》中国科学技术大学出版社2006年版

151页至156页

1.

$\int^{\infty}_{0}x^n p^{-x} dx = \int^{\infty}_{0}x^n e^{-(\ln p) x} dx= \frac{1}{(\ln p)^{n+1}} \int^{\infty}_{0}y^n e^{-y} dy$

(令$y=(\ln p) x$)
$\frac{1}{(\ln p)^{n+1}} \int^{\infty}_{0}y^n e^{-y} dy= -\frac{1}{(\ln p)^{n+1}}y^n e^{-y}\vert^{\infty}_{0}+\frac{n}{(\ln p)^{n+1}} \int^{\infty}_{0}y^{n-1} e^{-y} dy=\frac{n!}{(\ln p)^{n+1}}$


2.

$\int^{\infty}_{1}\frac{dx}{x^m}=\frac{1}{m-1}x^{1-m}\vert^{1}_{\infty}=\frac{1}{m-1}$


3.

$\int^{a}_{0}x^m(a-x)^n dx=a^{m+n+1}\int^1_0 y^m(1-y)^n dy$
(令$y=ax$)
$a^{m+n+1}\int^1_0 y^m(1-y)^n dy=(-)^n a^{m+n+1}\int^{1}_{0}y^m(y-1)^n dy=(-)^n a^{m+n+1}[\frac{1}{(m+1)}y^{m+1}(y-1)^n\vert^1_0-\frac{n}{(m+1)}\int^{1}_{0}y^{m+1}(y-1)^{n-1} dy]=...=(-)^{2n}a^{m+n+1}\frac{n!m!}{(m+n+1)!}$
$=\frac{m!n!a^{m+n+1}}{(m+n+1)!}$

4.

$\int^{1}_{0}\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}}dx=(-)\frac{1}{(m+n-1)}\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n-1}}\vert^{1}_{0}+\frac{m-1}{(m+n-1)}\int^{1}_{0}\frac{x^{m-2}}{(1+x)^{m+n-1}}dx=...$
怀疑原书有错,应为
$\int^{\infty}_{0}\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}}dx=\int^{\infty}_{1}\frac{(y-1)^{m-1}}{y^{m+n}}dy$
(令$y=1+x$)
$\int^{\infty}_{1}\frac{(y-1)^{m-1}}{y^{m+n}}dy=\int^{1}_{0}t^{m+n-2}\left(\frac{1}{t}-1\right)^{m-1}dt$
(令$t=1/y$)
$\int^{1}_{0}t^{m+n-2}\left(\frac{1}{t}-1\right)^{m-1}dt=\int^{1}_{0}z^{m-1}\left(1-z\right)^{n-1}dz$
(令$z=1-t$)

$\int^{1}_{0}z^{m-1}\left(1-z\right)^{n-1}dz=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$


12.
$\int^{a}_{0}\frac{x^p}{(a-x)^p}dx=a\int^{1}_{0}\frac{y^p}{(1-y)^p}dy$
(令$y=x/a$)
$a\int^{1}_{0}\frac{y^p}{(1-y)^p}dy=\frac{ap\pi}{\sin p\pi}$
(注意练习(二)105式)


25.
$\int^{\infty}_{0}\frac{(1+x)^{p-1}}{(a+x)^{p+1}}dx=\int^{\infty}_{1}\frac{y^{p-1}}{(y+a-1)^{p+1}}dy$
(令$y=x+1$)
$\int^{\infty}_{1}\frac{y^{p-1}}{(y+a-1)^{p+1}}dy=\int^{1}_{0}\frac{t^{-(p-1)}}{\left(\frac{1}{t}+a-1\right)^{p+1}t^2}dt$
(令$t=1/y$)
$\int^{1}_{0}\frac{t^{-(p-1)}}{\left(\frac{1}{t}+a-1\right)^{p+1}t^2}dt=\int^{1}_{0}\frac{1}{\left(1+(a-1)t\right)^{p+1}}dt=\frac{1}{a-1}\int^{a-1}_{0}\frac{dz}{(1+z)^{p+1}}$
(令$z=(a-1)t$)
$\frac{1}{a-1}\int^{a-1}_{0}\frac{dz}{(1+z)^{p+1}}=-\frac{1}{a-1}\frac{1}{p}(1+z)^{-p}\vert^{a-1}_{0}=\frac{1-a^{-p}}{p(a-1)}$



26.
$\int^{\infty}_{1}\frac{dx}{(a-bx)(x-1)^{\nu}}=\int^{\infty}_{0}\frac{y^{-\nu}}{(a-b-by)}dy$
(令$y=x-1$)
$\int^{\infty}_{0}\frac{y^{-\nu}}{(a-b-by)}dy=\frac{1}{b}\int^{\infty}_{0}\frac{y^{-\nu}}{(\frac{a-b}{b}-y)}dy=-\frac{1}{b}\int^{\infty}_{0}\frac{y^{-\nu}}{(\frac{b-a}{b}+y)}dy=-\frac{1}{b}\frac{\pi\left(\frac{b-a}{b}\right)^{-\nu}}{\sin\nu\pi}=-\frac{\pi}{b}\csc\nu\pi\left(\frac{b}{b-a}\right)^{\nu}$


29.
$\int^{1}_{0}x^{p-1}(1-x)^{q-1}(1+ax)^{-p-q}dx=\int^{1}_{0}\left(\frac{x}{1+ax}\right)^{p-1}\left(1-\frac{(a+1)x}{1+ax}\right)^{q-1}\frac{dx}{(1+ax)^2}$
(令$y=\frac{x}{1+ax}$,所以$\frac{1}{y}=\frac{1}{x}+a$,故$x=\frac{y}{1-ay}$,$dx=\frac{dy}{(1-ay)^2}$)
$\int^{\frac{1}{1+a}}_{0}y^{p-1}\left(1-(a+1)y\right)^{q-1}dy=\frac{1}{(a+1)^p}\int^{1}_{0}z^{p-1}(1-z)^{q-1}dz$
(令$z=(a+1)y$)
$\frac{1}{(a+1)^p}\int^{1}_{0}z^{p-1}(1-z)^{q-1}dz=(a+1)^{-p}B(p,q)$


31.

$\int^{b}_{a}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1}(x-c)^{-p-q}dx=\int^{b-a}_{0}y^{p-1}(b-a-y)^{q-1}(y+a-c)^{-p-q}dy$
(令$y=x-a$)
$\int^{b-a}_{0}y^{p-1}(b-a-y)^{q-1}(y+a-c)^{-p-q}dy=\frac{1}{b-a}\int^{1}_{0}z^{p-1}(1-z)^{q-1}\left(z+\frac{a-c}{b-a}\right)^{-p-q}dz$
(令$z=\frac{y}{b-a}$)
$\frac{1}{b-a}\int^{1}_{0}z^{p-1}(1-z)^{q-1}\left(z+\frac{a-c}{b-a}\right)^{-p-q}dz=\frac{(a-c)^{-p-q}}{(b-a)^{-p-q+1}}\left(1+\frac{b-a}{a-c}\right)^{-p}B(p,q)=(a-c)^{-q}(b-c)^{-p}(b-a)^{p+q-1}B(p,q)$


39、40.

$\int^{\infty}_{1}\frac{x^{p-1}+x^{q-1}}{(1+x)^{p+q}}dx=\int^{1}_{0}\frac{\frac{1}{t^{p-1}}+\frac{1}{t^{q-1}}}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{p+q}t^2}dt$
(令$t=\frac{1}{x}$)
$\int^{1}_{0}\frac{\frac{1}{t^{p-1}}+\frac{1}{t^{q-1}}}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{p+q}t^2}dt=\int^{1}_{0}\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}dt$

$=\int^{1/2}_{0}\frac{\left(\frac{y}{1-y}\right)^{p-1}+\left(\frac{y}{1-y}\right)^{q-1}}{\left(\frac{1}{1-y}\right)^{p+q}}\frac{dy}{(1-y)^2}$


(令$y=\frac{t}{1+t}$,有$x=\frac{y}{1-y}$、$dx=\frac{dy}{(1-y)^2}$)
$\int^{1/2}_{0}\frac{\left(\frac{y}{1-y}\right)^{p-1}+\left(\frac{y}{1-y}\right)^{q-1}}{\left(\frac{1}{1-y}\right)^{p+q}}\frac{dy}{(1-y)^2}$

$=\int^{1/2}_{0}[y^{p-1}(1-y)^{q-1}+y^{q-1}(1-y)^{p-1}]dy=\int^{1/2}_{0}y^{p-1}(1-y){q-1}dy+\int^{1}_{\frac{1}{2}}z^{p-1}(1-z)dz$
(令$z=1-y$)
$\int^{\frac{1}{2}}_{0}y^{p-1}(1-y){q-1}dy+\int^{1}_{\frac{1}{2}}z^{p-1}(1-z)dz=\int^{1}_{0}y^{p-1}(1-y)^{q-1}=B(p,q)$


65.

$\int^{1}_{0}\frac{x^{p}-x^{-p}}{x+1}dx=\int^{1}_{0}\frac{x^{p}}{x+1}dx-\int^{1}_{0}\frac{x^{-p}}{x+1}dx=\int^{1}_{0}\frac{x^{p}}{x+1}dx-\int^{\infty}_{1}\frac{t^{p}}{(t+1)t}dt$
(令$t=1/x$)
$\int^{1}_{0}\frac{x^{p}}{x+1}dx-\int^{\infty}_{1}\frac{t^{p}}{(t+1)t}dt=\int^{\infty}_{0}\frac{x^{p}}{x+1}dx-\int^{\infty}_{1}\frac{t^{p}}{t+1}\left(\frac{1}{t}+1\right)dt=-\frac{\pi}{\sin p\pi}-\int^{\infty}_{1}t^{p-1}dt=\frac{1}{p}-\frac{\pi}{\sin p\pi}$


71.

$\int^{a}_{0}\frac{dx}{a^2+ax+x^2}=\frac{1}{a}\int^{1}_{0}\frac{dy}{1+y+y^2}$
(令$y=x/a$)
$\frac{1}{a}\int^{1}_{0}\frac{dy}{1+y+y^2}=\frac{1}{a}\int^{1}_{0}\frac{dy}{(y+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}a}\int^{\sqrt{3}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dz}{z^2+1}$
(令$z=(y+\frac{1}{2})/(\frac{\sqrt{3}}{2})$)
$\frac{2}{\sqrt{3}a}\int^{\sqrt{3}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dz}{z^2+1}=\frac{2}{\sqrt{3}a}\arctan z\vert^{\sqrt{3}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3a}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3a\sqrt{3}}$




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