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控制相关基本数学知识(1)

已有 5265 次阅读 2013-12-15 22:17 |系统分类:教学心得|关键词:基础知识

一,向量空间(又称为线性空间)

满足向量空间8个基本条件的空间叫做向量空间(8个条件都写下来很费时,在下就偷偷懒了。矩阵分析

教材里应该都有),又称为线性空间。注意,向量空间的元素不一定就是值为固定的一个向量,它也可

以是定义在某一个区间上的函数,或者更宽泛的说,满足加减和数乘算法的映射关系也可以是向量空间

的元素。

与向量空间相关的几个概念。

线性组合:有一组元素,不同的元素各乘以一个系数(实数,没记错的话,不能是复数),之后再相加

,这种形式即为该元素组的一个线性组合。

独立性:有一组元素,若其线性组合为零可以推得各个元素前的系数均为零,那么这组元素是独立的。

Span:假设S是R的子集,而R的所有元素都可表示为S元素的线性组合,则我们称R是S的span。

基:集合X的一个子集S,S的元素是独立的,且S是X的span,我们说S是X的基。换句话说,X的基就是可

以表示X的每一个元素并且本身具有独立性的一组向量(元素)。

n维向量空间:集合X内存在n个独立的元素,且任意的(n+1)个元素都不是独立的,则X为n维向量空间。

集合X的维数即其最大的独立元素数。


二,度量空间(metric space)

对于集合X内的任意两个元素,都有一个与其相关的实数(可以理解为距离),且该实数满足了一些性质

(略),那么X称为度量空间。

开集:集合E属于度量空间X,称其为开集,若其对每一个元素e,都可以找到一个邻域,使得邻域内所有

元素都属于E。

闭集:补集为开集的集合为闭集。

有界集:度量空间内集合E内的每两个点之间的距离都小于某一个值。

dense的概念:度量空间内集合E,其两个子集S,T,且S属于T,若对于T内的任意一个元素t,S内都有元素

s可任意接近于(距离小)t,则称S在T内是dense的。

连续的概念:两个度量空间X,Y,f为从X到Y的一个函数,运用X和Y各自的距离定义,套用微积分中的连续

概念可以很自然的引出更广泛的连续概念。

一致连续:注意一致连续和连续的区别,前者可推出后者,反之则不然。一致连续的特点在于,对于任

意小的正实数e,存在一个固定(注意这里是固定的,连续是做不到这一点的)的对应正实数φ(e),使得

当集合内任意两个元素距离小于φ(e)时,其对应函数的距离小于e。

收敛的概念:略

compact的概念:度量空间X的子集E称为compact的,如果E内的每一个序列内都存在一个子序列收敛于E

内的一个点。特殊的,n维欧式空间的compact子集必为有界的并且为闭集。

Cauchy序列:一个学列Xi,如果给定正实数e,总存在整数n,使得p,q大于n时,Xp和Xq的距离小于e,则

称该序列为Cauchy序列。注意,收敛序列是Cauchy序列,反之则不然。

完备度量空间:若度量空间内每一个Cauchy系列都是收敛序列,则该空间为完备度量空间。


三,范数向量空间

以x-y的范数定义距离的度量空间X称为范数向量空间(范数定义详见各类参考书)。

Banach空间:完备的范数向量空间称为Banach空间。

内积空间:有内积定义的向量空间

施瓦茨不等式:内积空间内,|<x,y>|2<=<x,x>*<y,y>对于任意两个元素x,y成立,当且仅当这两个元素独

立。




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