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数学的理性、魅力和启示

已有 1121 次阅读 2020-6-11 11:38 |系统分类:论文交流

 

数学的理性、魅力和启示

人类用感官感知客观世界,产生了对客观世界的感性认识,可能首先通过视觉认识物体的形状,如果我们看到天上的月亮和太阳,日常生活中的瓶盖子和表蒙子,或者偶然看到车轮子和动物的黑眼珠子,虽然这些都是不同的物体,但是发觉这些物体具有类似的形状,人们就把这种形状叫做圆形。这就是感性世界中的圆,是对圆形的感性认识。我们可以对感性认识的特点做如下的归纳。 感性认识: 通过感觉器官对客观事物的片面的、现象的和外部联系的认识。感觉、知觉、表象等是感性认识的形式。感性认识是具象的,有局限性的。例如以上的这些圆形的物体,从外形上看都有相似之处,但又都有差异;而相似在哪里,差异在哪里,又说不清楚,这就是感性认识的局限性。所以感性认识是认识过程中的低级阶段。要认识事物的全体、本质和内部联系,必须把感性认识上升为理性认识。对其特点归纳如下。

理性认识:理性认识是认识的高级阶段。在感性认识的基础上,把所获得的感觉材料,经过思考、分析,加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里、由个别到一般、由具象到抽象的整理和改造,形成概念、判断、推理。理性认识是感性认识的飞跃,它反映事物的全体、本质和内部联系。

一、对圆的理性认识的发展

2000多年前,墨子(公元前468-376)是这样认识圆并作出定义:“圆一中同长也”, 这个定义里面的“中”就是圆心,”长”就是半径,”同长也” 意味其轨迹就是圆即圆周。这就是对圆的抽象的几何学的认识,是由表象到本质的一个提升,由此形成理念世界中的圆。这种对于圆的认识是由感性认识到理性认识的飞跃。太阳、月亮、瓶盖子、表蒙子、车轮、黑眼珠子是圆的,在有圆的定义以后才可能对它们进行测量,才发现对这些物体感性认识中的圆形都不是绝对的圆,而且从几何外形上看,它们有着长度不一样的半径。

此外,墨子对点、线、面、体等都给出了严格的数学的定义。

不要小看了圆的这个定义,2000多年以前墨子关于圆的理念是中国古代公理化科学思想发展的一个起点。数学以及一切科学的发展都有其连续性和逻辑性的。有了这个定义以后,刘徽和祖冲之才能够在圆的定义的基础上,用割圆术计算出圆周率,推导出圆面积的计算公式。这是数学理性发展的一个起点,也是科学发展的一个起点。几乎所有的科学分支都不可能离开圆的定义、圆周率、圆周和圆面积的计算。如果没有这个圆的定义,科学的发展将难以想象。由此可见2000多年以前墨子关于圆的理念是中国古代公理化科学思想发展的一个起点。至于为什么中国古代的科学在这个起点上没有进化到现代的科学,这就是众说纷纭的李约瑟难题。

在古希腊也有对圆的理性认识,欧几里得(公元前330年-275年)在其几何原本中给出了与墨子对圆的定义相类似的关于圆的公设“以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆”。 但未有圆的定义前,圆心是什么?半径又是什么?

如果把墨子在几何学方面的成就孤立起来,认为它没有形成一个系统,所以没有多少学术上的意义。反之设想如果没有墨子关于圆的定义,也就不可能有刘徽和祖冲之领先于世界的关于圆的面积计算公式的逻辑演绎推导和圆周率的计算。仅仅在瓶盖子是圆的,表蒙子是圆的这样一些感性的认识的基础上是无法推导出关于圆的任何计算公式的。

二、墨子逻辑学

墨子的理性还表现在他对逻辑学方面的贡献,墨子的逻辑学源于辩学。一个逻辑学体系可以起源于几何学,例如亚里士多德的逻辑学体系;也可以起源于法学,一个逻辑学的体系无论起源于何种学科,只要这个逻辑体系是正确的完整的,它就可以应用于任何领域。

墨子逻辑学体系中有“小故”、“ 大故”之逻辑:

小故“有之不必然,无之必不然“,这对应着事件发生的必要条件; 大故“有之必然,无之必不然”;“有之必然”则对应着事件发生的充分条件; 这三者是有严格的区分的。例如在微积分中,函数的一阶导数等于0是该函数极值的必要条件,即“有之不必然,无之必不然”;但这不是充分条件。二阶导数大于0或者小于0才是函数有极值“ 有之必然” 的充分条件,所以还需要用二阶导数检验函数是否有极值。“小故”“大故” 所对应的必要条件和充分条件也是变分法,最优化方法,最优控制等数学分支中重要的数学概念和逻辑推理的理论方法;也应用于代数方程,微分方程等数学分支中解的存在性和唯一性的重要数学概念和逻辑推理;“小故”“ 大故” 所对应的必要条件和充分条件在现代科学,如医学中也是应用广泛的重要推理诊断之中,例如前列腺特异抗原是诊断前列腺癌的必要条件,但不是充分条件;对于任何疾病的诊断都需要严格掌握必要和充分的区分;在其他社会科学领域,例如法学领域中也是重要的逻辑推理条件。由此可见三者的严格区分有着重要的科学意义。墨子特别论述了这三者的概念,定义,逻辑学原理。

亚里士多德(公元前384,公元前322)形式逻辑体系源于古希腊的几何学,在这种几何学体系中命题是否成立的逻辑演绎推理的逻辑起点给出的都是充分必要条件,逻辑演绎推理结果得到的也都是充分必要条件。例如两个三角形角边角相等可以逻辑推演出两个三角形的全等,反之亦然;也就是说,两个三角形角边角相等是该两个三角形全等的充分必要条件。这就影响到亚里士多德的形式逻辑体系对于区别“必要”“ 充分必要”“ 充分”的不同逻辑推理问题的重视。

三、勾股定理——从感性到理性

中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”这是一个三角形的三个边的三、四、五的表述。这种表述,既谈不上是定理,连经验公式都算不上。只不过是一种特殊直角三角形的三个边的数值比例关系表述而已,这仅仅是中国古人对直角三角形的一种感性认识。但是中国古代的数学对直角三角形的勾股弦三者的关系并没有停留在这种感性认识上,又经过了近300年,中国古人对直角三角形三个边的关系提升到了理性的认识而提出来名副其实的具有理性构架的勾股定律。

在公元前7至6世纪学者陈子,给出了任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各自乘并开方除之得斜至日。据公元前一世纪成书的《周髀算经》记载,我国古代杰出的数学家陈子(公元前6-7世纪)对太阳的高和远进行了测量,这就是人们所乐于称道的“陈子测日”。 据《周髀算经》记载,有一次荣方和陈子问答,陈子说:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并开方而除之,得邪至日者。”(古汉语“邪”也作“斜”解)就是说,将勾、股各平方后相加,再开方,就得到弦长(图2)。陈子的这段话,不仅解决了日远的计算问题,而且还最早表述了勾股定理。这充分证明,我国至迟在陈子所处年代,已经发现并运用了勾股定理:

勾股各自乘,并开方而除之,得邪”

有史料记载的中国古代对于勾股定理的证明是三国时期的赵爽(公元182年-公元250年),这个史料记载的证明晚于古希腊的毕达各拉斯的证明。

赵爽的《周髀算经注》是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明,将勾股定理表述为:“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。”证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实。”  他撰成《勾股圆方图说》,附录于《周髀》首章的注文中,勾股图说。短短五百多字,简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就,不仅勾股定理和其它关于勾股弦的恒等式获得了相当严格的证明,并且对二次方程解法提供了新的意见。   勾股圆方图

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以上就是中国历史上对直角三角形边长计算由三四五的感性感性认识到理性的提升,即中国古代勾股定理的理性的构建。

如果中国古代的勾股定理就是三、四、五。而不了解以后陈子对勾股定律的表述以及赵爽对勾股定律的证明,这是对中国古代科学历史的一种片面的认识。

如果按照这种逻辑研究古代的数学史,世界上所有民族古代都曾经有过结绳记事,按照这种割裂历史的逻辑,古代的数学史就只剩下结绳记事了。

世界上很多的国家在古代对勾股定理做出了各自的贡献,古希腊的毕达哥拉斯也提出了勾股定理并做出了证明,他提出勾股定理比中国的陈子晚,其证明却在先,所以在世界上勾股定理通常称作为毕达哥拉斯定理这也在情理之中。

在我们的教课书中,把这个定理叫做勾股定理是客观的也是科学的,而把这个定理叫做商高定理是不科学的,容易让人误解。

对待科学史,重要的是实事求是,而不应该感情用事。

四、从欧几里得几何看数学理性的发展

在人类历史上,众所周知的第一个完善的公理化数学体系是欧几里得的几何学。它以几何图形概念的定义,公理和公设为起点通过逻辑演绎证明了几何学中一系列的命题和定理,从而构成了欧几里得几何学。其中公理是指在许多科学分支中所共有的已为实践所反复证明而被认为无须再证明的真理,“等量加等量其和相等”,就是无需证明的公理。在各种科学领域的基础中,还有某些未经证明而作为逻辑起点的假定,此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的,而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性建立在现实世界的经验上。

《几何原本》中给定了五条“公理”(极基本、不证自明的断言)又称算术公理:

等同于相同事物的事物会相互等同,即如果a=b,b=c,那么a=c

若等同物加上等同物,则整体会相等,如果a=b,那么a+c=b+c。; 

若等同物减去等同物,则其差会相等,如果a=b,那么a-c=b-c; 

相互重合的事物会相互等同;

整体大于部分。

这五条公理是任何科学无论是自然科学还是社会科学,无论是数学还是天文学,无论是物理学还是化学,无论是古希腊的几何学还是古中国的算术,都必须无条件的遵守这五条公理,所以除了欧几里得几何学开宗明义给出这五条算术公理以外,其它的中外的数学和科学书籍一般并不明示这五条公理,但其在逻辑演绎过程中都是严格遵循这五条算术公理的,这是不言自明的。

《几何原本》又给定五条公设(从人们的经验中总结出的几何常识事实)。

 1.过两点能作且只能作一直线;
 2.线段(有限直线)可以无限地延长;
 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆;
 4.凡是直角都相等;
 5.过平面上直线外的一点有且仅有一条直线与该直线平行。
 (最后一条公设就是著名的平行公设,或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论),

《几何原本》以这些公理和公设为逻辑的起点,经过逻辑演绎证明了一系列的几何定理,形成了欧几里德几何学的体系。

公理系统要满足某些基本的要求,包括系统的一致性(无矛盾性)、完全性,以及公理的独立性。其中一致性是最重要的,其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的,或可以不必一定要求的。  由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系,所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。

数学的公理化体系推动了近现代自然科学生成和发展,牛顿的自然哲学,爱因斯坦的相对论,现在宇宙学中的大爆炸理论,理论力学,现代控制理论都具有该科学分支领域的公理化的体系;数学公理化体系也推动了法学,金融学等现代社会科学的发展。

       在数学中,所有的定理都必须给予严格的证明。而数学公理是在基本事实或自由构造的基础上人为设定的,所以公理却是无需证明的,也有人类仍无法用现有理论推导证明的,如“哥德巴赫猜想” “1+1” 的猜想。 在其他学科中如果有必要, 也可能设定其他的公理或者公设,欧几里得几何中的公设就是这种情况。

 

      公设可以是经验性的,并不是纯粹理性的,它只在一定的范围中是可信的,如古希腊的欧几里得几何中的第五公设。

欧几里得几何的这一个平行线公设,曾经引起过数学领域近2000年的风波,引起无数的数学家对平行线公设的怀疑和证明,以后又引导出众多的改变了平行线公设的非欧几里得几何,其中主要的有罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

罗巴切夫斯基几何的第五公设:过平面上一条直线外的一点,至少可以引两条不与该直线相交的直线;

黎曼几何的第五公设:过平面上一条直线外的一点没有一条直线不与该直线相交。

除了几何学之外,很多数学的公理化体系中并没有公设。抽象代数是公理化体系,该体系中没有公设,而在“定义”基础上经过逻辑演绎形成抽象代数的数学体系。抽象代数的群论,是在群、环、域等数学概念定义的基础上,经过逻辑演绎而发展起来的一个数学体系。其中的定义完全是理性的,由此逻辑演绎出的数学(抽象代数)是可信的。与几何学不同的是他所定义的对象如群、环、域都是虚拟的,这种公理化系统可以称作为虚拟公理系统。

公设是经验性的,所以它为数学发展带来了局限性。而定义可以是虚拟的,天马行空,为数学的发展开辟了无限空间。

事实上除了抽象代数,还有很多数学并不是建立在“公设“的基础上的,例如算术、代数、三角学、微积分、复变函数、泛函分析等等就是建立在定义基础上的。例如,三角学中的全部三角函数正弦、余弦、正切,和反三角函数,反正弦、反余弦、反正切的表达式都是一种定义,以这些定义为逻辑的出发点,经过逻辑演绎建立了全部三角学的数学公式(定理) 数学体系。中国古代刘徽数学正是在定义基础上逻辑演绎的,他所完成的九章算术注,首先对中国古代已有的九章算术中出现的术语和概念进行定义,然后以这些定义为逻辑的起点,对九章算术中的算法进行了逻辑演绎的证明。可以说这是刘徽第一次创建的,中国古代算术的公理化体系。

复变函数是以虚数和复数为变数和因变数的函数理论,是在虚数和复数定义的基础上发展出来的一类数学体系,16世纪,数学家卡尔达诺的第一次大胆使用了负数平方根的概念。如果不使用负数平方根,就不可能解决四次方程的求解问题。虽然他写出负数的平方根,但他却犹豫不次,他不得不声明,这个表达式是虚构的,想像的,并第一次称它为虚数 和无理数的出现一样,引起了数学界相当大的困惑,当时这个虚数只有数学意义,在自然界无意义,现实世界中并不存在虚数和复数对应的物理量。随着科学的发展,虚数和复数由此产生的复变函数在电磁学、系统分析,控制理论中得到了重要的应用。还在流体力学、空气动力学、弹性理论等方面都得到了广泛应用。

应用数学也是逻辑演绎的公理化体系,也是从定义和假设条件出发,运用现成的代数、几何、微积分、微分方程等数学方法进行逻辑演绎的证明而得出一些有应用价值的定理和结论。

控制科学是一种应用数学,所以又称控制数学,它以定义、假设条件或者已知条件等作为逻辑的起点,然后用矩阵论、微分方程、泛函分析等现成的数学方法演绎证明出控制科学的理论。

在控制系统的结构理论中,从数学上严格定义了能控性,能观测性,对系统的线性条件进行假定,然后用矩阵理论对系统的能控性和能观测性的充分必要条件进行了证明;       在控制系统动态分析理论中,对稳定性进行了严格的数学定义,然后用微分方程理论推导了系统稳定的充分必要条件;在最优控制理论中,首先构造(定义)了系统的性能指标,系统的边界条件和约束条件作为已知条件,然后用微分方程和变分法等数学方法推导出控制系统性能指标取极值的必要条件和充分条件,这就形成了最优控制理论的数学方法——最佳过程的数学原理——庞特里亚金极大值原理。
       由此可见,在数学体系中几何学的公理化基础结构并不是唯一的,上述的这些数学和应用数学的公理化基础结构中没有基于经验的公设条件,而代之以定义、假设或者已知条件作为逻辑的起点,形成了这些数学的公理化的逻辑演绎结构。

再次强调的在数学中定义的对象可以是现实存在的也可以完全脱离现实的存在,因此数学才有了最广阔的发展空间,数学才可能成为虚拟的。虽然这类抽象的数学很多都与现实存在找到了对应的关系,并且得到了重要的应用。

由此可见,定义和公理,公设一样是数学公理化体系的一个关键的环节,对发展各种数学分支起着重要的作用。

我们可以设想,如果在欧几里得几何中第五公设平行线公设,不是作为公设提出来的,而是以定义一种平行线的概念提出来。

欧几里得几何第五公设:过平面上直线外的一点有且仅有一条直线与该直线平行。如果我们把它改造成

定义: 过平面上一条直线外的一点存在与该直线不相交的一条直线称作平行线。

这一定义不会改变欧几里得几何所有其他的内容,但是却因此会改变数学发展的历史。至少在数学领域就不会有关于欧几里得几何的平行线公设的千年风波。但是其他体系几何学的理论应该仍然会发展起来,这是因为在数学界一直存在对平行直线不同的理解。

五、数学猜想的魅力

数学领域中数学猜想是发展数学的一种重要的动力,数学猜想常常是数学理论的萌芽和胚胎,因此它具有创新性,创新是数学猜想的灵魂,没有创新就没有猜想。爱因斯坦说“提出问题比解决问题更重要”,一个学科只有大量的问题提出,才能使它永葆青春。正因为历史上有诸如最著名的数学猜想费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想、庞加莱猜想等的提出,数学科学才发展到今天壮观的现代数学。猜想作为一种直觉思维活动,虽然在很大程度上依赖于灵感或超前思维。但作为一种思维活动,也存在着自身的一些规律,这些规律的掌握,对于学生掌握正确的方法,培养与提高能力往往起着事半功倍的作用,在数学教学中应用数学猜想,具备十分积极的作用和重大的意义。

数学猜想一般是建立在现有理论或者客观事实基础上的假设,也可以是完全虚拟的。因为有了这样的假设基础,很多数学猜想是很简单明了的,如哥德巴赫猜想,于是认为这些猜想是可以被证明的。很多的数学家,和业余爱好者,为攀登这样的数学顶峰,揭开它的神秘面纱,看到她美丽的容貌,付出毕生的精力,然而许多的猜想,经过了数百年的努力方才得到证明,还有的猜想至今也未得到最终的证明。即使如此,每一种猜想的证明过程都推动着数学的发展,例如陈景润对哥特巴赫猜想的证明,虽然不是最终的证明,但是却是数论发展的一个新的高峰。而最速降线的数学猜想竟然开启了控制论的一个重要分支——最优控制理论的建立和发展。

最速降线的问题又可称作为最速降线猜想,考虑如下运动

质点从一个定点运动到不在其垂直下方的任意一个点(即排除自由落体运动),整个运动过程只受重力作用,不计摩擦力,存在着一条曲线,质点沿该曲线下滑运动时间最少。

由于质点运动的曲线有无穷多种情况,怎么在这些曲线簇中找到那条使得下降时间最短的曲线?就被称之为最速降线猜想,是由意大利科学家伽利略在1630年提出的。17世纪的数学家欧拉、牛顿、莱布尼兹和伯努利家族的成员都找到了这条最速降线的方程式,这个方程后来叫著名的欧拉方程。这个最速降线的问题归结为泛函的极值问题,并由此,发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。在此基础上发展了动态系统的最优化理论,其中有前苏联数学家庞特里亚京发展的极大值原理和美国数学家贝尔曼创立的动态规划构成了最优控制的基本理论。

欧几里得几何中的第五公设即平行线公设,在欧几里得以后,很多数学家把第五公设作为一种数学猜想,经过罗巴切夫斯基等数学家努力以其它四条公设为基础逻辑演绎证明第五公设,得到的结论这是一个无法以其它四条公设证明的猜想,于是就有了前面叙述的一些数学家改变第五公设的假设条件而发展出众多的非欧几何,其中最著名的有罗巴切夫斯基的非欧几何学和黎曼的非欧几何学。

数学猜想具有巨大的魅力,例如用圆规直尺三等分任意角的猜想就是许多学习平面几何的初中学生曾经有过的天真的梦想,甚至也是某些髦老人的一个美丽的黄昏梦。

 

数学上有个很有名的定理,叫哥德尔不完备定理,他证明连数学都无法同时是完备的和一致的,以数学的方式说明人的理性是有界的。人类往机器智能上去探索,去突破,人在这方面是起决定作用的。但这样一来,人的算法所决定的机器智能能否全面超过人类的自然智能也就成为近年来自然科学界和哲学界说最热衷的课题,也成了科学界一大猜想。哥德尔的晚年,致力于用逻辑演绎的方法证明人工智能的综合能力永远不会超越人类智能的综合能力。可以称之为,“广义哥德尔猜想”:算法能写清楚的智能,永远小于人类语言能表达的智能,人类语言能表达的智能,又远小于人类想象的智能。

人工智能尽管在某些方面已经大大超过了人的自然智能,但仍然局限于图灵机应用数理逻辑的语言思考的范畴,这不过是人的自然智能的一个子集。人的自然智能,例如人的想象力,创造力,精神世界和感情世界,人的各种心理和生理活动,都大大超出了数理逻辑的范畴。所以现在提出人工智能可以超越人的自然智能还仅仅是一个猜想。但是这种猜想是有意义的,正因为在这种猜想的支撑下,人工智能在对人的自然智能的仿生领域取得重大的进展。除了写诗,画画,作曲之外,在棋类的比赛中已经胜过了人的天然智能。

在科学研究和发展过程中,大胆的猜想是科学研究过程中的,一种感性构建的阶段;而进行理性的求证,无论是逻辑演绎的证明,还是进行实验的验证, 即进入到科学的理性构建的阶段。正如前北京大学校长胡适先生所提出的“大胆的假设,小心的求证”,这是一种科学的理性态度,科学正是遵循着这一条规律发展着。



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