关联长度对沙堆系统自组织临界性的影响

周海平

（贵阳学院 计算机科学系，贵州 贵阳 550005）

摘  要：利用一个一维沙堆模型研究了关联长度对沙堆系统自组织临界性的影响。研究过程中，根据关联长度的长短分两种情况对该模型进行计算机模拟。结果发现，当颗粒之间的关联长度很短时，只要适当调节崩塌概率系统就会出现自组织临界性，而当颗粒之间的关联长度很长时，无论怎么调节崩塌概率，系统都不会出现自组织临界现象。

关键词：自组织临界性；  沙堆模型；  崩塌

中图分类号：O415.2                      文献标识码：A

1  引言

自组织临界性是自然界各类系统存在的一种普适性质，如雪崩，地震，股市崩盘等都呈现出自组织临界性，这些现象的一个统一特征是：系统在演化过程中会自动达到某个临界状态，在该临界状态下，事件发生的机率与事件本身的规模成幂指数关系。沙堆演化是研究自组织临界现象的典型例子[1]，如果将沙粒逐颗加入平台，当沙粒堆积到一定程度之后，单颗沙粒的加入会引起一系列沙粒的崩塌，我们称之为雪崩，雪崩过程中涉及到的沙粒数称为雪崩大小，记为S。如果雪崩发生的概率D与雪崩大小S呈(1)式所描述的幂律关系，则该沙堆存在自组织临界性。

                             (1)

为了研究系统产生自组织临界性的机制，Bak等人提出了一个简化的沙堆模型[2,3]，即BTW模型，通过计算机模拟，他们发现二维和三维的沙堆系统具有自组织临界性质,而一维沙堆系统不具备自组织临界性。1996年Frette等人用米粒代替杀了做一维米粒堆的崩塌实验，结果发现圆米粒堆能够产生自组织临界现象，而长米粒堆无法产生自组织临界现象，这与BTW模型矛盾。文献[5]通过在BTW模型的基础上加入一个崩塌概率，结果圆满地解释了米粒堆实验。本文将在文献[5]的基础上进一步研究关联长度对沙堆系统自组织临界性的影响。

2  模型与模拟

2.1  模型

图1是一个长度为L的一维沙堆模型，沙堆的左边被一挡板挡住，右边是开放的，沙粒逐个沿着挡板落下，因此沙粒只能从左往右崩塌，当沙粒超出边界时便离开系统。我们用hi表示位置i处的沙堆高度，zi表示位置i处的局域倾角，zi=hi－hi+1，zc为系统的临界倾角。若往i位置加入一颗沙粒，则有zi→zi＋1，zi-1→zi-1－1；若某时刻有一颗沙粒从i位置滑向i＋1位置，则有zi→zi－2，zi+1→zi+1＋1，zi-1→zi-1＋1；若沙粒从右边界滑出系统，则zL→zL－1，zL-1→zL-1＋1。

崩塌判据：当zi<zc时，沙粒处于稳定态，不发生崩塌

          当zi>zc时，沙粒处于不稳定态，发生崩塌

当zi=zc时，沙粒处于亚稳态，以概率p崩塌(0<p<1)

当系统的关联长度很小时，单个颗粒的崩塌只会影响沙堆表面与其相邻的两个沙粒，而当系统的关联长度很大时，单个颗粒的崩塌会影响沙堆表面所有的沙粒，也就是说此时沙堆表面所有的沙粒都要根据崩塌判据决定是否发生崩塌。

图1  一维沙堆模型

Fig.1 One dimensional sandpile model

2.2  模拟

起初所有位置的沙粒高度都为零，然后沿着左边的挡板逐个加入沙粒，添加沙粒的过程中会伴随着大小不等的雪崩，只有当前一次雪崩结束时才允许继续添加下一颗沙粒，在沙堆达到临界状态之后再加入106颗沙粒，我们把临界倾角定为2，记录每加一颗沙粒引起的雪崩大小，统计不同雪崩大小的分布情况，模拟过程中采用元胞自动机方法，这样可以很好的处理沙堆演化过程中多粒子并行运动问题。

3  结果

3.1  短关联沙堆系统中雪崩大小的分布情况

在短关联沙堆系统中，当某个位置的沙粒发生崩塌后，只有与该位置相邻的两个沙粒会受到扰动，若这两个相邻位置的沙粒处于亚稳定状态，则它们会以概率p发生崩塌。系统的演化结果如图2所示，从图中我们可以看出，大雪崩发生的概率很小，而小雪崩发生的概率很大，且雪崩大小与崩塌概率之间满足幂律分布关系： ， ，由此可以断定系统此时具有自组织临界性。

图2 弱关联沙堆系统中雪崩大小的分布情况

Fig.2 The avalanche size distribution of weak correlated sandpile system

3.2  长关联沙堆系统中雪崩大小的分布情况

在长关联沙堆系统中，当某个位置的沙粒发生崩塌后，其它所有位置的沙粒都会受到扰动，其中处于亚稳状态的沙粒会以概率p发生崩塌。系统的演化结果如图3所示，从图中我们可以看到，此时不论崩塌概率取什么值，雪崩大小与雪崩概率之间都不会出现幂指数关系，因此系统不具有自组织临界性。

图3 强关联沙堆系统中雪崩大小的分布情况

Fig.3 The avalanche size distribution of strong correlated sandpile system

3.3  短关联与长关联的情况下沙堆坡度变化的比较

图4是计算机模拟得到的沙堆坡度随崩塌概率变化的情况，其中图4(a)是短关联沙堆系统的坡度变化情况，而图4(b)是长关联沙堆系统的坡度变化情况。从图中我们可以看出，在短关联沙堆系统中，沙堆的坡度随崩塌概率的增加而减小，而在长关联沙堆系统中，沙堆的坡度随崩塌概率的变化保持不变。合理的解释如下：

在短关联沙堆系统中，单个沙粒的崩塌只会影响与之相邻的两个亚稳态沙粒，且这两个亚稳态沙粒只能以概率p崩塌，当p较小时雪崩过程很容易被抑制，此时沙堆的坡度就因沙粒的累积而逐渐增大，直到沙堆达到某个临界角度为止。而当p较大时，亚稳态的沙粒受到扰动后很容易崩塌，并且这种崩塌很容易维持下去，在这个过程中将会有一些沙粒从边界离开系统，这种情况下很沙粒很难在系统中累积，因此沙堆的坡度随崩塌概率的增加会逐渐减小。

在长关联沙堆系统中，单个沙粒的崩塌会对系统中所有处于亚稳态的沙粒都产生影响，这些沙粒都会以概率p崩塌，如果系统规模较大，那么系统中处于亚稳态的沙粒就多，此时，就算在p较小的情况下也很容易使系统的雪崩持续下去，直到系统中绝大部分沙粒达到稳定态为止，这个过程中同样会有一些沙粒从边界离开系统，这使得沙堆的坡度始终维持在一个较小的值。

图4 弱关联(a)和强关联(b)系统中沙堆坡度随崩塌概率的变化情况

Fig.4 The change of slope with the change of avalanche probability in weak correlated sandpile system (a) and strong correlated sandpile system (b)

4  讨论

         在短关联沙堆系统中，单个沙粒的崩塌只会扰动与其相邻的两个沙粒，如果这两个沙粒正好不发生崩塌那么雪崩过程就会终止，因此对于这种短关联系统来说，在系统势能较低的时候雪崩很容易被终止，小规模的雪崩很容易发生，随着时间的推移系统的能量越聚越多，最终系统将自发达到一个临界状态，此时一个沙粒产生的崩塌很容易引起整个系统产生大规模的雪崩，同时大量沙粒携带能量离开系统，因此短关联沙堆系统具有自组织临界性。在长关联沙堆系统中，任何沙粒的崩塌都会对系统中所有位置的沙粒产生扰动，于是雪崩可以一直持续下去，直到整个系统所有的沙粒都达到稳定状态，这使得系统一直维持在一个势能较低的稳定状态，抑制了大规模雪崩的形成，因此这样的系统不具有自组织临界性。

5  结束语

目前自组织临界性的概念已被用于解释地震、雪崩、山体滑坡等多种自然现象，沙堆模型实际上反映了在自重和外力作用下的岩体崩塌、边坡失稳、坡面泥石流、雪崩等诸多现象的一种散粒体的能量耗散普适过程，这些系统具有共同的特性。本文的模型及模拟结果不仅解释了一维米粒堆实验，同时也为研究坡面失稳、松散堆积层滑坡机理等课题提供新的途径。

参考文献：

[1] Bak P著.李炜等译.大自然如何工作[M].武汉:华中师范大学出版社,2001.

[2] Bak P, Tang C, Weisenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise[J]. Phys. Rev. Lett, 1987, 59:381-384.

[3] Bak P, Tang C, Weisenfeld K. Self-organized criticality[J]. Phys. Rev. A,1988,59:364－374.

[4] Frette V, Christensen K, Malthe-Sorenssen A, Feder J, Jossang T, Meakin P. Avalanche Dynamics in a Pile of Rice[J]. Nature (London),1996,379:49-52.

[5] 周海平，蔡绍洪，王春香. 含崩塌概率的一维沙堆模型的自组织临界性. 物理学报，2006, 55(7)：3355-3359.