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强收敛与弱收敛

已有 22079 次阅读 2012-9-30 21:40 |个人分类:数理|系统分类:教学心得| 空间, 收敛

    强收敛和弱收敛是泛函分析中的重要概念,二者之间的关系如何呢?这是个非常困难的问题。我们先叙述定义:
定义. 设$X$是赋范线性空间,$\{x_n\}\subset X$,$x_0\in X$。
(1)如果$\lim_{n\to \infty}\|x_n-x_0\|=0$,则称$\{x_n\}$强收敛于$x_0$;
(2)若对每个$f\in X^*$,$\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(x_0)$,则称$\{x_n\}$弱收敛于$x_0$。
    强收敛可以推出弱收敛,这是很明显的。但反过来不对,可以举个例子:
例.Hilbert空间$l^2$中取点列$\{e_n\}$:$e_n=(0,\cdots,0,1,0,\cdots)$。由Riesz表示定理,对每个$f=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots)\in (l^2)^*=l^2$, $f(e_n)=\xi_n\to 0 (n\to\infty)$,即$\{e_n\}$弱收敛于$l^2$中零元$\theta$。同时,也很容易证明,$\{e_n\}$不强收敛于$\theta$。
    在什么情况下弱收敛可以推出强收敛,这个问题并不清楚,恐怕也没有最终答案。众所周知,在有限维空间中,任何收敛性都是等价的。对于无穷维情形,现在知道一些特殊情况。比如,对$l^1$空间,有下述结论:
Schur定理. 在$l^1$空间中,强收敛与弱收敛等价。
    从这个定理顺便得知,前边例子中的点列$\{e_n\}$在$l^1$中不是弱收敛的。同一个点列在$l^1$和$l^2$中性质不同,原因在于,$l^1$的共轭空间是$l^\infty$,而$l^\infty$中的元素$f=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots)$是有界数列,其一般项$\xi_n$不一定收敛于零。
      Schur定理只涉及$l^1$空间,而做数学的人总希望尽可能得出更广泛的结论。于是便有了一些新的定理。
定理. 设内积空间$X$中的点列$\{x_n\}$弱收敛于$x_0\in X$。则$\{x_n\}$强收敛于$x_0$当且仅当数列$\{\|x_n\|\}$收敛于$\|x_0\|$。
    在点列的范数容易计算或容易估计时,这个定理很有意义。该定理也可以推广到一致凸赋范线性空间:
定理.$X$是一致凸赋范线性空间,$X$中的点列$\{x_n\}$弱收敛于$x_0\in X$。则$\{x_n\}$强收敛于$x_0$当且仅当数列$\{\|x_n\|\}$收敛于$\|x_0\|$。
    这个定理在非线性分析中最具代表性的用途是:验证Sobolev空间$W_0^{1,p}$上泛函的(PS)条件,即先证明点列弱收敛,再证明其范数构成的数列收敛,从而得到强收敛性。
    另有一个著名的定理,在非线性分析中很重要,常常被用来寻找凸泛函的临界点。
Mazur定理. 设赋范线性空间$X$中的点列$\{x_n\}$弱收敛于$x_0\in X$。则存在$\{x_n\}$的元素的凸组合构成的点列$v_n$,使得$v_n$强收敛于$x_0$。
   强收敛和弱收敛的关系,是一个很基础的问题。这个老问题现在还有没有人研究我不清楚,也不知道目前最新的结论,欢迎大家补充。


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1 李天成

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