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一道数学题

已有 2830 次阅读 2010-4-17 23:29 |个人分类:数理|系统分类:教学心得

实变函数论是学生普遍反映比较难学的课程,但入门之后,还是觉得挺有意思的。俺在这里提个实变函数论的问题和大家探讨探讨。
问题. 可否构造区间 [0,1] 的子集,使得对[0,1] 中的任意区间,有

                                 .                                            

其中  表示集合 的Lebesgue测度,  表示  的余集。

直观地说,集合和它的余集很均匀地分布在区间 [0,1] 中。这个问题可以进一步推广为: 

新问题. 设  (0,1)是给定的常数。构造区间 [0,1] 的子集,使得对[0,1] 中的任意区间,下式成立:

                                  .

 前边的问题是本题在   时的特例。

欢迎江湖上的朋友们赐教。

补记:有个朋友已经证明:满足上述要求的[0,1] 的子集是不存在的。



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