通过共振数学模型理解量子本质

摘要：量子现象是微观粒子存在的基本特性之一，是理解物质微观形态的关键概念。这一现象与宏观世界人们的感性认识相违背，对于初学量子物理者尤为困难。本文通过一个简单的数学模型，利用波的共振性质尝试去理解微观世界的量子现象。这一模型的共振态的讨论可能对其他领域，比如思维科学等也有所启发。

关键字：量子现象 共振态 数学模型 思维科学

本文是参加暑期学校的作业，现在回头看有很多欠推敲的地方，但是玩玩还是很有意思的。

量子力学的横空出世是人类文明在二十世纪最重大的进步之一，使人类的认知从宏观世界（大于微米的尺度）深入到了微观世界（小于纳米的尺度）。量子力学的概念取代牛顿力学成为现代物理和化学等基础学科坚实的理论基础。量子力学出现和发展对于人类思想或者说哲学的影响也是巨大的。不确定性原理或可成为人类观测的极限的根本标准。著名的“薛定谔的猫”佯谬等源于量子力学概念的争论已经进入哲学范畴，促使人们重新去审视一些基本的哲学问题：什么是客观存在？世界是否以波的形式存在？观测者对世界的存在有什么样的影响？宏观与微观的界限在何处？量子态如何在宏观世界里湮灭？

人们生活的现实世界是一个宏观的世界，人们基于宏观世界建立的感知与量子世界的理论是相违背的，比如爱因斯坦也曾经说过他不相信上帝在掷骰子。正是由于这种宏观世界和微观世界感知的差别才产生了上述的争论和悖论。对量子态的认识是学习现代物理学和化学的基础，尤其对于初学的学生，通过各种手段加深对这一问题的理解便非常重要。本文的主要内容是利用一个简单的数学模型尝试去理解量子力学的一些基本的问题。

德布洛伊将物质的粒子性和波性联系起来，海森堡进而将薛定谔方程中本征态的平方理解为粒子出现在空间的概率波。这样微观粒子的存在成为一种波。薛定谔在推演物质方程时，将这种粒子波看成一种驻波，也就是体系的本征态。也就是说，对于没有电子跃迁的静态体系，物质波的本征态是一种驻波。

驻波是波的一种特殊的形式，是两个振幅、波长、周期皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波。[1]根据驻波形成的条件可以看成是波与环境形成共振的结果，即驻波为一共振态。我们知道共振是指一个物理系统在特定频率下，以最大振幅做振动的情形。[2]此一特定频率称之为共振频率。从这一点上可以知道只有当环境的尺寸为二分之一波长的整数倍时才能发生共振，形成驻波。这一点是粒子波呈现量子态的根本原因。

对于粒子在一维无限深势阱中运动的波函数方程为：

其中n是量子数，取值为自然数。我们将无限深势阱的边界条件去除，将波函数限制在弯曲的圆上。那么波函数最终呈现的是自身相干的结果，通过这一模型来理解共振和量子态概念。

下图是波在半径为20的圆上呈现的图像。

图1.sin(x)在半径为20的圆周上的共振图形

如果我们将大圆看成外界环境，那么可以看到正弦波sin(x)在圆上由于自相干形成了驻波，发生共振。这是由于圆的周长2×pi×20正好为正弦函数周期的整数倍。若半径为20.5，即为正弦函数周期一半的整数倍，则图像为：

图2.sin(x)在半径为20.5的圆周上的相干抵消的图形

可以看到，由于环境与正弦波的作用使得正弦波正好波峰对下一周期的波谷，发生相干抵消，也就是说这一种波的状态不能存在。

通过改变圆的半径我们发现只有当圆的半径为正整数时，也就是圆的周长正好为正弦函数周期的整数倍时正弦波才能发生共振形成驻波，其他情况均发生波的抵消或者不能形成驻波。这样我们就可以很方便的引入了量子数。

通过图1我们很容易可以推测到，当圆的半径越来越大时波的振动性就越来越不明显，可以理解为当尺度越来越大接近宏观尺度时，量子波就越不明显，最终在宏观世界无法看到量子态的存在。反之，当圆的半径越来越小，则波动性越明显。下图分别是半径为4，3，2，1时的共振图像。

图3.sin(x)在半径分别为1（左上），2（右上），3（左下），4（右下）的圆周上的共振图形

可以看到随着圆半径的减少，圆的特性越来越不明显，正弦函数的特点也越来越不明显。这说明波函数与环境发生了强烈的共振，可以认为体系出现了新的状态。尤其对于半径为1的情况，即圆的周长与波函数的周期相等，已经完全没有正弦函数的形状，可以认为此时为体系的基态。从函数本身的性质来讲，此时出现了不连续点，这是其他状态没有的。

作为量子态，有一个很重要的性质：两个态的线性叠加仍然是体系的一个状态，即态叠加原理。下图是sin(x)和sin(2x)在半径为5的圆上的叠加图像，可以看到两个状态的叠加仍然在圆上发生共振，并形成了一个新的状态。

图4.sin(x)+sin(2x)在半径为5的圆周上的共振图形

可以很容易的证明，这一数学图像有如下的性质：当圆的半径为有理数时一定会在圆上形成特定的花纹，而半径为无理数时则在圆附近形成连续的点的分布。而且只有当半径为正整数时这些花纹不会发生相干抵消。下图分别是半径为23/3和半径为3×pi时的情形。

图5.sin(x)在半径为23/3和3×pi的圆周上的共振图形

上面我们考察的是在二维空间无外场情况下波函数共振现象。对于实际体系，原子轨道可以看作粒子在三维空间球形势场下发生共振的情况。这些共振的电子波在空间表现出了不同的形态，从而形成了s，p，d，f等空间轨道，如下图所示：

图6. s(A), p (B), d (C), f (D) 原子规道空间分布图

当圆的半径小于1时，尽管物理上未必有意义，因为不满足量子数为整数的规则，但数学上是可以存在的。下图给出了当半径为1/9~8/9的正弦波函数的图像。可以看到，在圆的内部出现了丰富的图形结构，并表现出类似分形的结构。这一现象在物理学中可以认为是突现（emergence），即一个复杂系统中由次级组成单元间简单的互动所造成的复杂现象。[wiki]值得注意的是圆心的点，可以看到此点的密度极大，并且稳定地出现在所有结构当中。

图7.sin(x)在半径为1/9~8/9的圆周上的共振图形

共振的现象实际上在现实生活中非常的多，比如动物和植物上规则的形状和花纹，如下图所示。这些现象都可以理解为波与限制空间发生共振。[3]

图8.植物和动物的特殊条纹和形态

脑核磁共振成像与认知科学结合起来去研究人脑思维的过程（见下图）。[4]我们可以将人的认知过程看作外界信号（波函数）与大脑神经元组成的网络发生共振的过程。当输入大脑的信号与大脑中已有的脑电波发生共振时，这部分信息将被加强。经过足够多的训练以后，人的大脑将形成外界世界的映像，这就是认知的过程。

图9.脑成像研究认知过程

本文使用圆上的正弦波的共振去理解量子态的问题，通过改变圆的半径得出只有当圆的半径为整数时，即圆的周长是正弦波的波长整数倍时才能发生共振，形成稳定存在的状态，除此之外会发生相干抵消。使用这一模型自然而然的引入了量子数的概念，并印证了微观粒子以波存在的本质。最后将共振的观念引申到宏观世界和认知理论当中，以期加深对这些现象的认识。

参考文献

[1]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A7%90%E6%B3%A2

[2]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E6%8C%AF

[3]http://www.voidspace.org.uk/psychology/resonance.shtml

[4] Haxby JV, GobbiniMI, Furey ML, Ishai A, Schouten JL, Pietrini P., Science, 2001, 293,2425-30