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主成分分析之R篇

已有 39071 次阅读 2013-10-27 20:21 |个人分类:R|系统分类:科研笔记

R中psych包可以进行主成分分析,其分析的步骤为:

(1) 判断主成分的个数;

(2) 提取主成分;

(3) 获取主成分得分;

(4) 列出主成分方程,解释主成分意义。


【例子】 测定了20株杨树树叶,每个叶子测定了4个变量(叶长x1,2/3处叶宽x2,1/3处叶宽x2,1/2处叶宽x2),测定结果如表4-52所示。试进行本样本的主成分分析。




psych包中的fa.parallel()函数可以判断主成分的个数,其使用格式为:

fa.parallel(x, fa = , n.iter =)

其中,x为待研究的数据集或相关系数矩阵,fa为主成分分析(fa= "pc")或者因子分析(fa = "fa"),n.iter指定随机数据模拟的平行分析的次数。分析代码如下:

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########## 代码清单 ##########
library(psych) # 载入psych包
     
df<- read.table(file = 'd4.11.1.csv', header = T, sep = ',') # 读入数据
# df.cor<-cor(df[,-1]) # 计算相关矩阵
 
####判断主成分的个数
fa.parallel(df[,-1], fa = "pc", n.iter = 100,
                  show.legend = F, main = "Scree plot with parallel analysis")

运行上述代码,得到结果如下:


 上图中,直线与x符号链接的曲线为碎石图,1.0水平线为1准则的特征值,虚线为100次随机数据模拟的平行分析。碎石图画出了特征值与主成分分数的图形。结果表明,选择2个主成分即可保留样本中的大量分信息。


第二步,提取主成分。psych包中的principal( )函数可以根据原始数据或相关系数矩阵做主成分分析,其使用格式为:

principal(x, nfactors =, rotate =, scores =)

 其中,x是原始数据或相关系数矩阵,nfactors指定主成分个数,rotate指定旋转的方法(“none”或“varimax”),scores为是否需要计算主成分得分(“T”或”F”)。


分析代码和运行结果如下:

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library(psych)
pc<-principal(df[,-1], nfactors = 2, score = T, rotate = "varimax")
 
> pc        ### 运行结果  ####
Principal Components Analysis
Call: principal(r = df[, -1], nfactors = 2, rotate = "varimax", scores = T)
Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
    RC1   RC2   h2     u2
x1 -0.07  1.00 1.00 0.0031
x2  0.94 -0.28 0.97 0.0297
x3  0.99  0.09 0.98 0.0175
x4  0.99 -0.10 0.99 0.0060
 
                      RC1  RC2
SS loadings           2.86 1.09
Proportion Var        0.71 0.27
Cumulative Var        0.71 0.99
Proportion Explained  0.72 0.28
Cumulative Proportion 0.72 1.00
 
Test of the hypothesis that 2 components are sufficient.
 
The degrees of freedom for the null model are 6  and the objective function was 6.8
The degrees of freedom for the model are -1  and the objective function was   0.42
The total number of observations was 20 with MLE Chi Square = 6.6  with prob < NA
 
Fit based upon off diagonal values = 1

从上述的结果中可以看出,RC1、RC2栏包含了旋转的成分载荷(component loadings),成分载荷是观观测变量与主成分的相关系数。成分载荷可用于解释主成分的含义。在本例中,第一主成分(RC1)与X2、X3、X4高度相关(相关值 > 0.9),第二主成分(RC2)与X1高度相关(相关值 = 1)。

h2栏是成分公因子方差,是主成分对每个变量的方差解释度。U2栏是成分唯一性,是主成分无法解释变量方差的比例,其值 = 1-h2。比如,本例中,第一主成分对x2变量方差的解释为97%,2.97%不能解释。

SS loadings包含了与主成分相关联的特征值,其含义是与特定主成分相关联的标准化后的方差值。比如,本例中,第一主成分的值为2.86。接下来的proportion  var和cumulative  var分别为主成分对整个数据集的方差解释度和累积解释度。


本例中,第一主成分解释了4个变量71%的方差,第二主成分解释了27%的方差,累计方差的解释度为99%。

 

第三步,获取主成分的得分。在第二步的代码基础上,加上下面的代码,即可获得主成分的得分。

round(unclass(pc$weights),2)   ## 获取主成分得分的系数。


运行结果如下:

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> round(unclass(pc$weights),2)
   RC1   RC2
x1 0.09  0.94
x2 0.31 -0.16
x3 0.37  0.20
x4 0.35  0.02


根据上述的结果,即可写出第一和第二主成分的方程:

 

Y1 = 0.09 X1 + 0.31 X2 + 0.37 X3 + 0.35 X4

Y2 = 0.94 X1 - 0. 16 X2 + 0.20 X3 + 0.02 X4


从上述的两个方程中可知,第一主成分中,x2、x3、x4的系数相差不多,x1的系数较小,而x2、x3、x4均是叶宽的变量,因此第一主成分是表示叶宽的综合因子。同理,第二主成分主要由x1决定,是表示叶长的综合因子。总之,叶片之间的差异主要表现为叶宽,其次是叶长。


最后,还可画出样本排序图,横坐标为各样本第一主成分的得分,纵坐标为各样本第二主成分的得分,图中可直观地看出样本间的相互关系。全部叶片大致可分为两组:a1 ~ a10样本为一组,b1 ~ b10样本为一组。





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1 张金龙

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