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数学是严谨的吗?(1 历史事实​)

已有 5760 次阅读 2013-12-7 16:17 |个人分类:基础数学-逻辑-物理|系统分类:科研笔记|关键词:数学,,,严谨,,严密,,危机,,根号2,,,无穷小,,罗素悖论| 数学, 危机, 严谨, 严密, 根号2

数学是严谨的吗?(1 历史事实)

 

   在现代科技中,数学的严密性应该是最好的了。可是,数学真的是严密的吗?


1 历史事实

 

     第一次数学危机:毕达哥拉斯的学生之一,希帕索斯(Hippasus of Metapontum,Híppasos,大约公元前500年)公开证明根号2不是比数(rational),而是irrational。其结果是是,按照目前流传的说法,他们合谋在船上把希帕索斯丢到大海里。作为上帝的公正回报,毕达哥拉斯及其学生们,被烧死或杀死。

      根号2大约发生在公元前400左右的古希腊时期。在公元前370年左右,柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus,约公元前408—前355)解决了非比数的定义。该方法和狄德金于1872年给出的非比数的现代解释基本一致。

      古希腊重几何,轻算术和代数的倾向,使得第一次数学危机实质上在欧洲持续了2000多年。直到1870年代现代实数理论的建立。

 

      第二次数学危机:在牛顿和莱布尼兹创立的微积分里(1665年),必须使用无穷小演算。无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?这些问题一直没有合理的解答。大帅哥达朗贝尔(Jean le Rond D'Alembert,1717-11-16~1783-10-29)只好宣称“把房子盖得更高些,而不是把基础打得更加牢固”来回避这些问题。而贝克莱大主教(George Berkeley,1685-03-12~1753-01-14)则在1734年出专著赞美无穷小量是“已死量的幽灵”。直到1870年代,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论、极限理论,才真正解决了数学分析的严密性。即解决了第二次数学危机。白驹过隙,这转眼一晃就是200多年!

 

       第三次数学危机:当数学家们还惊魂未定的时候,1901年罗素(Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell,1872-05-18~1970-02-02)发现罗素悖论(Russell's paradox,或称理发师悖论)。这个逻辑学的自相矛盾,再次把数学推向危机的深渊。人们创造的无穷集合、承认无穷基数,以及ZF、NBG公理系统等来解决第三次数学危机。罗素悖论看上去是解决了,但数学的确定性也随之消失了。实际上,第三次数学危机并没有真正解决,它以更深刻的形式顽强延续着。

       1931年的哥德尔不完全性定理,似乎彻底地对数学家们一剑封喉:从此没人敢大声喧哗了。

 

数学啊!从牛顿到今天,只有30年看上去是严密的。可怜的8.6%!呜呜呜……

 

2  疑问

   (1)比数与非比数?博主果然是真傻!

     徐光启、利玛窦把希腊文称为λόγος(logos,rational number,“成比例的数”)翻译成有理数。于是,irrational(非比数)就成了“无理数”。

   (2)第三次数学危机解决了吗?

      上帝2003年说:

    “老杨,这些方法我都不满意。要不你去试试?”

     俺当时就被吓傻了,从此就成为“真傻”:真正的傻子。(我们的主啊!你莫教我们担负无力担负的!)

 

相关链接:

[1] 数学危机 - 维基百科,自由的百科全书

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA

[2] 第三次数学危机

http://b.baidu.com/view/930502.htm

[3] 胡作玄. 第三次数学危机. 四川人民出版社,1985

中国科普博览,http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/4/44/4_44_1001.htm

[4] 莫里斯•克莱因. 古今数学思想.上海科学技术出版社,1978

[5] Encyclopedia of Mathematics(苏联数学百科全书)的wiki版:

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page

[6] 中国大百科全书•数学,中国大百科全书出版社,1988

[7] 俗解Chaitin定理

http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=478066

[8] 2009-11-12,《超级数学与21世纪》

http://bbs.sciencenet.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=78026  

[9] 数学是严谨的吗?(2 逻辑是元凶)

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749077

[10] 数学是严谨的吗?(3 一个形象的比喻)

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=107667&do=blog&id=749285

 

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