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物理学专业都要学些啥? 精选

已有 6419 次阅读 2019-10-19 12:41 |系统分类:教学心得

本文根据作者与本科生的几次谈话整理而成,主要目的是希望帮助学生形成对物理学的一个大体上的整体认知,促使他们思考物理学专业各课程之间的联系。为此,根据作者个人的认知,构思了一条脉络,以希望能够具有比较清晰的逻辑。然而,实际的学科结构是非常复杂的,其中的关系犬牙交错,每一门课程也都有各自的专门特点,所以本文难免挂一漏万了。限于作者学识,还有很多认识不到位、不准确的地方,请读者批准指正。

我们这个世界总是处于不断变化的过程,物理学家的任务就是揭示支配这些变化的最基本的规律。掌握了这些规律后,原则上只要我们精确确定了研究对象在某一时刻的状态,就可以预言其今后的演化趋势或者这种趋势的概率。当然,实际上我们无法做到精确确定,不仅是技术上做不到,本质上也不可能做到(这本身就是物理定律)。但无论如何,逼近这种极限预言能力始终是物理学研究的一个远大抱负。

1.      力学规律

对于一个刚性物体或是流体的某一个微小单元,《力学》告诉我们,决定其状态变化的基本规律是牛顿第二定律:

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所以,在我看来,牛顿第二定律不啻为整个物理学大厦的基石,所有的物理学研究其实都是围绕着它展开的。要么就是研究受力(动力学),要么就是研究在已知受力情况下的状态变化(运动学),虽然实际操作上不一定表现得这么清晰。不过,通过学习《原子物理学》,通过思考原子周围的电子状态特别是由它们的跃迁所导致的分立谱线,我们又可以很快认识到,在极微小的尺度上物体的状态实际上不是连续变化的,而是分立的,其状态的变化决定于薛定谔方程:

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在经典情况下,我们用特定的坐标来标示物体的状态,而在量子情况下则用了关于坐标的几率幅函数(波函数)。(1)式和(2)式的左边都是表示状态的变化,而右边则是导致这种变化的原因:力F或者说引起力的势V。所以,从处于物理学大厦的位置来讲,薛定谔方程本质上等同于牛顿第二定律,所以我们分别把这两门课叫做经典的《力学》和《量子力学》

不过,从数学形式上来看,(1)式和(2)式仍然存在很大的不同,似乎很难直观地感受到它们的密切联系。为此,在学习《量子力学》之前,我们还会学习一门《分析力学》。通过定义一个叫拉格朗日的函数:L=T-U,我们可以成功地把牛顿第二定律的数学形式转变成拉格朗日方程:

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在此形式上,我们可以进一步给出哈密顿方程和泊松括号等概念,以帮助我们建立起经典力学和量子力学之间的桥梁。所以尽管《分析力学》也仍然是在讨论转动、振动这些经典问题,但却是后续《量子力学》学习的重要基础,一些结论常常被直接拿来使用。

拉格朗日函数的引入实际上还有一个更重要的作用。在学习普通力学的时候,我们往往可以把力和物体的状态分解开来,或者说我们处理的常常是系统所受到的“外力”。即使考虑力的变化,这种变化也常与速度和坐标存在清晰的关系。这些情况在日程生活和工程问题中是普遍的。但是,在更复杂的物理过程中,可能需要同时考虑多个乃至无数个施力物体(微元)和受力物体(微元)的状态变化。随着物体(微元)状态的变化,作用在各个物体(微元)上的力是时时、处处变化的,变化非常复杂。换句话说,我们要考虑的是一个系统的“内力”,力和状态不可分离,两者需要同时确定。所以,原则上我们需要知道整个空间范围内所有位置的受力情况,这就形成了一个关于力的“场”的概念。从场的观点来说,描述物体的能量特别是势能(标量)要比描述物体的受力(矢量)更加方便,这正是拉格朗日函数的优势所在。而至于这些能量该如何描述,则决定于能量的类型和物体之间究竟是通过何种相互作用发生联系的,这其实是所有物理学研究中最核心的问题。

从上述几个方程可以看到,微积分对于物理学学习来说绝对是最基本的工具,所以我们进入大学后一般都是从学习《高等数学》开始的。此外,从数学形式上来说,薛定谔方程和拉格朗日方程都是微分方程,对于描述“场”的性质而言微分方程是很好的一种手段,解微分方程是理论物理学习的一个很显著的数学特征。所以,在学习理论物理课程之前我们会学习《数学物理方法》,以教会我们如何求解常见的微分方程(热传导方程、波动方程、场方程)和一些特殊的积分。当然,从物理学研究现状来讲,我还强烈建议学习一些《数值计算方法》,包括对微分方程的数值求解。目前有一些较好的编程软件,也可以选择学习使用。

2.      相互作用

在有了上述基本力学定律后,剩下的任务就是要描述各种具体的相互作用。人类最初认识的是万有引力,将万有引力定律代入牛顿第二定律之后,我们可以完美地解释天体的运行规律,即开普勒行星运动三定律。这一事件在科学史不仅是物理学史上具有开创性、奠基性的意义。其次,人类认识了电和磁,尽管库伦定律、毕奥-萨伐尔定律与万有引力定律在形式上非常相像,但因为电和磁具有相互转化的关系,所以我们要专门学习一门《电磁学》来了解其中的规律,最终总结出一组麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是人类发现的最重要的方程之一。

基于麦克斯韦方程组,我们能够很好地定义与电磁“力”相关的“势”,进而从场论的角度来描述电磁场,这就是我们学习《电动力学》的主要内容之一。通过麦克斯韦方程组,我们可以自然得到电磁波的概念,结合《光学》中学习的光的波动性(干涉、衍射),可以进一步认识到传统的“光”本质上便是一种电磁波。基于电磁现象特别是电磁波常常与处于光速或接近光速的状态密切相关,所以电动力学中又一个重要内容是“狭义相对论”。在相对论框架下,最重要的就是时间和空间不再相互独立,以及由此引发出的一系列观念变化。从数学的角度,一个物理规律满足相对性原理即表现为可以写为一个关于四维张量的方程,一个相互作用满足相对性原理即表现为可以写出一个四维张量的“势”。对于电磁相互作用而言,即有四维电磁势

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在此基础上,我们就可以写出具体的拉格朗日函数。决定电磁势的方程是达朗贝尔方程(麦克斯韦方程组的再变形)。当然,在求解达朗贝尔方程的时候,还应该要采用一个规范,采用规范的意思类似于我们确定引力势、库伦势的时候需要取一个势能零点。电磁相互作用是目前人类认识最清楚的一种相互作用。

“相对论”并不是电磁相互作用的专属性质,所有的相互作用都应该满足相对论。从更广义的角度来看,也并不局限于惯性系(广义相对性原理)。由此引申出的一个问题是,对于那个十分成功的万有引力定律,我们该如何相对论化?如何找出万有引力对应的四维“势”?在这个问题上,爱因斯坦提出了一个石破天惊的观点,即把“引力势”解释为时空弯曲。因此,对“引力势”的定义就变成了对时空度规的定义。把狭义相对论中的闵科夫斯基度规扩展为作为时空坐标函数的度规,而决定此度规的方程即为爱因斯坦场方程:

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这个方程非常类似于描述电磁相互作用的达朗贝尔方程(麦克斯韦方程组),只不过把左边的电磁势换成了时空曲率张量,把右边的电荷和电流换成了物质的能量动量张量。当然,这些方程之间还是有本质差异的,具体了解这些内容需要学习《广义相对论》。《广义相对论》通常是一门选修课,只有部分学校开设。我个人认为,出于全面了解现代物理学思想的目的,我们仍有很大的必要学习它。一个有意思的事情是,类似于电磁波动方程,广义相对论场方程也可以给出引力波的预言,这个预言在2015年被证实了。

由上我们看到,对电磁相互作用的学习实际上可以为我们探索其它相互作用提供思考依据和方向。特别是在数学形式上做了统一后,不同相互作用之间的可能联系就变得更加明显。对于强、弱相互作用的学习,已经不在本科学习的范围内。特别是对于强相互作用,目前仍然是研究的前沿,并未完全弄清楚。我个人的一点粗浅理解是,在写任何物质拉格朗日函数的时候,或者说在确定物质的各种能量表达方式的时候,我们常常会使用动量、角动量这些物理量,而这些量背后常常对应着空间平移不变性、旋转不变性等对称性。所以,如刘连寿老师以前常常跟我们强调的那样,我们可能需要多从对称性的角度来思考守恒量,这对于理解物质和相互作用的属性可能是有帮助的。以我个人的看法,无论是广义相对论还是讨论各种对称性,这种把物理理论和广义的几何问题结合起来的思考,是一件很令人感叹的事情。还有一点有意思的是,这里所谓的几何问题其实常常是用代数(矩阵)的形式来表现,所以对物理专业的学生来说学好《线性代数》是必要的。当然,如果要学习广义相对论,那至少还需掌握《张量分析》

此外,在讨论相互作用的时候,除了追求麦克斯韦方程组、爱因斯坦场方程这种严格的理论外。我也还想提一点所谓唯象模型。因为有时候,我们的目的是解决一个具体的物理问题,而在相互作用并没有完全搞清楚的情况下该怎么办?一个很有意思的例子是分子之间的相互作用。这种作用我们知道本质上是电磁相互作用,但它不能用库伦公式来描述,因为分子之间的力不完全决定于分子的净电荷、而更决定于分子内电荷的分布。这个时候,我们会采用一种经验公式来描述分子之间的相互作用,比如范德瓦尔斯力。再比如在描述核子与核子之间的短程相互作用的时候,我们常常采用汤川势等。此外,当需要考虑很多粒子共同产生的势的时候,我们还可以用它们的平均效果来构造有效的势等等。这些描述相互作用的方法就是唯象方法,它们不能完全反映物理的本质,但可以有效解决问题。所以,归根结底,如前面强调的,物理学的核心问题是相互作用问题,就是如何描述“势场”的问题,严格理论的角度也好,唯象模型的角度也好,都是这样一个目标。

3.      宏观和微观的连接

原则上来讲,宏观物体的性质决定于组成它的所有微观粒子的状态演化。但实际上,我们并不会真地去这么做,即没那个必要,也没那个可能。对于宏观的物体,我们常常可以基于实验确定它们的一些基础性质,然后基于一些规律做出重要的判断和推论,这是我们学习《热力学》的基本逻辑。但是,如何体现出我们前述讨论的那些基本相互作用和物理规律对物体宏观性质的决定作用呢?换句话说,如何从微观粒子角度确定物体的宏观性质,比如状态方程、热容量、热导率、电导率、粘滞系数等等。为此,我们会学习一门叫《统计物理》的课,告诉我们微观粒子的数目是如何按照它们的状态进行分布的,从而使我们能够将所有微观粒子及其相互作用过程按照这些分布进行积分,从而得到相应的宏观性质。对于完全不考虑相互作用(除了交换相互作用)的情况,我们称之为理想气体,包括玻色气体和费米气体两种(在经典极限下均变为玻尔兹曼气体)。这里可以专门提一下黑体辐射,这个例子我们一般都会在引入量子论的时候讲到,但实际上为什么黑体辐射需要考虑量子论其实需要在统计物理里面才能讲清楚。当然,对于更多实际的气体,重点还是在于描述气体粒子之间的相互作用(比如统计物理课里面讲的稀薄气体),这就回到了我们之前讨论的物理学核心问题。

在很强的相互作用下,粒子的位置还可能被局限住,从而形成固体,表现出很多气体所没有的性质,比如晶格的振动、磁化等。特别是由晶体结构所决定的电势场会变得异常复杂,决定了固体的各种特殊性质。这些将是《固体物理》课程的学习内容。循着这样一条道路,我们便可以把我们掌握的物理学规律逐渐应用到各种不同的实际物理问题中。

4.      结束语

以上这些是我在本科学习阶段,在脑子里形成的一个对所学物理知识的整体认识。一直记得汪德新老师书本上引用的华罗庚的一句话:“学习有一个由薄到厚,再由厚到薄的过程。”我的理解是,当我们学习一门新的课程的时候,每天一个新的知识点,越积越多,这本书就越来越厚。而当我们学完这门课,能够把所有知识点都有机串联起来的时候,这门课就又变成了一张纸。所以,对于整个物理学知识来说,我觉得差不多也是这样。物理学是一门有机的整体的学问。虽然出于实际的需要,我们会把它分成一门一门的课来讲授,但绝不意味着这些课之间是没有关联的。所以,我写下这些文字,希望对尚在本科阶段的物理专业学生有所帮助。当然,这并不表示我认为物理学就真的可以完全简化为这些文字。当我们面对具体物理问题的时候,我们仍然要将自己沉浸到具体的学科知识和分析方法当中。在本科学习结束以后,除了走向应用物理理论的道路,在探索基础物理理论的方向上,我们也仍然还有很多问题值得继续学习和研究,比如如何把相对论和量子力学完美结合起来,如何最终把所用相互作用纳入到一个统一的表达方式之下等等。

 




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