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也谈卷积---及其在振动、中心极限定理以及更新理论中的应用
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在振动学中有一个著名的杜哈美积分(Duhamel's Integral)。讲的是对于受迫振动，我们可以将强迫力时程分解为一系列的脉冲的叠加，如果已知系统在单个脉冲下的响应，并注意到 s 时刻的脉冲只对时间 t > s 的响应有影响，那么整个系统在 t 时刻的响应就等于所有t时刻以前的脉冲各自单独作用下的叠加。因为采用了叠加原理，系统必须是线性的。
用 h(u) 表示系统在单位脉冲作用下 u 时刻的响应。那么 s 时刻的脉冲在系统 t (t > s) 时刻产生的影响就等于 h(t-s)，将所有 s (=0~t) 加起来，就得到整个系统在 t 时刻的响应。对于离散时间，就是相加；对于连续时间，变成积分。
这是一个工科学生对卷积的简单理解。
卷积应用于很多学科，下面简单讲两个在概率论中的应用。一个是随机变量的和，另一个是更新过程中的更新定理。
两个随机变量的和的概率分布，可以表达成一个卷积积分。n 个随机变量的和的概率分布，就是 n 重卷积。
更新过程中一个比较棘手却非常重要的量，是在给定时间内事件发生数的平均值 E[N(t)]，它也可以表示成它自身与更新间隔时间的概率密度函数的卷积，推导方法，和前面强迫振动是一样的。不过，这个时候人们通常叫它 II 型 Volterra 积分方程。为什么要用一个新名词呢？如果借用前面振动学的概念，是因为这个时候脉冲响应函数和响应函数是同一个函数。
前面几位大侠似乎没有讲到一个问题，即如何处理卷积。实际上，我们很少直接求解卷积。很多时候，我们发现，用 Fourier 或 Laplace 变换是一个更为简单的办法。这主要是因为，采用变换后，卷积变成了代数乘积。在振动学中，脉冲响应函数的变换改称为频响函数，而在概率论中，概率密度函数的 Fourier 变换称为特征函数，Laplace 变换称为矩生成函数。对于离散时间（时间序列）或离散随机变量，我们多采用它们的生成函数(generating function)，在信号处理中，又叫z变换。
正是因为采用了 Fourier 变换，中心极限定理的证明成为一件不是那么难的事情。
严格数学的解释（存在性），请读曹大侠之大话卷积。
大话卷积
https://blog.sciencenet.cn/blog-103568-425648.html
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3 曹广福 陈筝 yuebeifan
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