最近在家fq成功，看了一个印度人做的纪录片，the quantum indians。

https://www.youtube.com/watch?v=7z9NUV_YrOo

片子讲了上世纪初三个对物理学作出巨大贡献的印度人，即提出玻色统计的bose，发现拉曼效应的raman，及提出著名的萨哈公式的saha。前两个大部分人都有所耳闻（今天做材料的搞不好天天都会做拉曼谱），但第三个的名气就小得多。不过就我个人而言，最先听说的却是saha，因为saha的公式在我们的本科的热力学教材里有提到。这个公式据称开创了现代天体物理学。

saha的工作是有关这样一个问题（我不确定cuspea考试是否有这个题）：

考虑容器内一团氢原子气，加热之，在一定温度T下，多少比例的氢原子会电离成质子和电子？

或者，考虑到氢原子会形成氢分子，考虑更早一个问题：

考虑容器内一团氢分子，加热之，在一定温度下，多少比例的氢分子会分解成自由氢原子？

考虑第一个问题。一个基于量纲分析的幼稚想法是，要让氢原子显著电离，温度必须跟氢原子的束缚能相当，即KT约等于Eb。氢原子的束缚能Eb是13.6电子伏特，一电子伏特相当于11000K，所以要让氢原子显著电离，温度必须在15万度的量级。

可是saha指出，这个想法大错特错。

我们可以用boltzmann公式看看缺了点什么。为简单起见，先忽略氢原子存在除基态外还存在很多激发态这一事实。我们需要比较氢原子处在基态和电离这两种状态的权重，而权重一要看能量二要看简并度。要电离氢原子，我们首先得付出13.6个电子伏特的能量，这个能量按照boltamann定律会抑制电离。但是，在让电子自由后，我们获得了额外的自由度或者说简并度。以前，电子只在基态轨道上转，位置和速度都固定，现在电子可以出现在容器里任何地方，其速度也可以取任意值。特别的，容器越大，电子的自由度越大。所以，只要容器足够大，电离的权重就越大；只要容器足够大，即便温度很低（比如远远小于束缚能），电离的权重也可以超过基态的权重！

所以，在上面的问题中，影响氢原子电离率的不仅有温度，而且有密度（或者说压强）。

这便是saha公式的关键点。密度会影响电离度也可以从动力学的角度来理解。一个氢原子的电离是就地的事情，与密度无关；但是，一个质子和一个电子结合成一个氢原子，却得首先让他俩有机会碰面，显然密度越大，他们碰面的机会越大。其实，这点也符合高中化学里的勒沙特列原理。

saha的原始公式很丑陋（毕竟他考虑的不是理想模型，是具体系统），这里就不展示了。大家可以看看他如何强调压强对恒星大气电离的影响：

可以看看他做的有关钙原子在不同温度和压强下电离率的表（明显可见，压强越低，完全电离的温度越低）：

saha提出他的公式是在1920年，目的是解释太阳光谱之谜。自19世纪中叶，夫琅禾费发现太阳光谱中的暗线，几十年下来，天文学家积累了大量的恒星光谱。每一套光谱里包含有几十种元素的几百甚至上千条暗线。这些谱线的位置很稳定，但是强度却多变。比如在可见光波段的氢原子的balmer系，有的恒星的很强，有的则几乎看不到。有趣的是，大致存在这样一个规律，温度适中的恒星的balmer线的强度最大，温度太低和太高都会导致balmer线的消失。

萨哈的公式就能解释这个现象。首先我们注意到，要有balmer系的吸收线，氢原子得在n=2的那个能级，这是第一激发态。假设一定压强。温度太低则很少有氢原子被激发到n=2的能级；温度太高则氢原子大部分被电离了。所以存在一个最佳的温度，使得n=2的氢原子数最大。

萨哈的公式还能解释为什么太阳光谱里找不到Cs等碱金属的谱线，事实上Cs等元素是夫琅禾费之后的基尔霍夫等人在实验室观察发射谱发现的。这些元素的电离能非常低，所以几乎完全电离了（类似地，太阳里的氢分子也完全分解了）。不过萨哈指出，在太阳黑子这种温度相对较低的区域，应该是可以找到Cs的吸收谱的。后来还真的找到了。

显然，萨哈的公式的意义在于，它提供了一个从恒星光谱推算各种元素丰度的可能。按照这个路子，哈佛女天文学家payne发现恒星的绝大部分质量来自氢和氦！

注1：观看纪录片后，研究了下saha的生平，结果发现他来自印度社会的最底层---他是种姓制度里的"贱民"。他是凭自己的天赋和兄长及若干好心人的支持完成学业。种族主义者一定是没见过世面的人。

注2：曹则贤老师最近有个很有趣的文章，什么实验观察逼出了量子力学？可见，谱线强度问题不仅促进了量子力学的发展，也促进了天体物理的发展。

注3：saha跟bose是同班同学。不过，bose考试总是第一名，而saha则总是第二名。

注4：作为开创式成果，saha的公式肯定是粗糙的，比如他只考虑了单种元素，也没有考虑原子的内部能级。在真实的恒星大气里，存在几十种元素，每种元素都会贡献电子，电子全同，所以一种元素的存在会（一定情况下应该会非常严重地）影响其他元素的电离。

注5：按照王虹宇老师的评论，saha公式的另外一个弱点是，他假设气体都是无相互作用理想气体。这个在密度低的时候，应该是可取的，但是在高密度的情况下，应该会显著地偏离真实情况。这时候，我们有个强相互作用多体系统。

注6：saha的另外一个贡献是，他的所谓的选择性辐射压。也是通过光谱观察，人们发现太阳大气里，钙可以达到几千公里的高度。在太阳表面巨大的重力加速度下，重元素如钙能够达到这样的高度，让人很费解。saha根据bohr等发展的量子论，指出一定元素对特定波长的光散射截面很大，所以能够感受到强的辐射压。可惜，他的文章太长，他付不起版面费，文章没及时完整地发表！现代激光冷却用的是同样的物理。