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量子力学第一篇:普朗克1901年的文章

已有 1210 次阅读 2018-6-12 15:34 |个人分类:物理学史|系统分类:科普集锦

普朗克提出能量量子化是在他1901年的一个文章。

这篇文章篇幅不长,思路很清晰,因而可读性很强。从历史的眼光来看,这个文章不仅经典,还是一个化石,很好地反应了当时人们所理解的数学和物理。

文章标题是“Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum”,也就是on the law of energy distribution in the normal spectrum. 这里的normal spectrum就是我们所谓的黑体辐射谱。

在这个文章之前,普朗克其实已经得到了他的公式。不过他是怎么做到的,据说一直是个迷。但有一点应该是肯定的,就是他是做“数学”得到的。

而在这个1901年的文章中,他则试图从“物理”上推导他的公式,这个公式已经被证明跟实验高度吻合。

他的做法跟今天的标准做法很接近。搞清楚一个系统的熵作为其能量(如有必要,还可以包含其他参量如体积)的函数后,这个系统的热力学就完全清楚了。所以,他要做的的问题是,考虑一个由N个频率均为w的谐振子组成的系统,其熵S_N如何依赖于其能量U_N?

为计算熵,他利用了Boltzmann公式

注意右边还有个常数项。这个时候还没有Nernst的热力学第三定律,大家还不知道这个常数项其实就是0.

现在为了计算状态数W,他很自然地被迫引入了能量量子e(Energieelement),只有这样状态数才是个有限的数。这个做法Boltzmann也用过。

在文章里,普朗克是这样论述的:

接下来,就是一个简单而标准的数学问题了。方程

x1 + x2 + .... xN = P 

有多少个非负整数解?

普朗克没有引用任何参考文献,直接写下结果

可见这个结果已经被当时的数学家物理学家完全掌握。不过,不确定他们的推导方式是否是我们今天用的那个简便办法。博主曾经在hilbert的讲不变量的书里看到他求解这个问题。他不是用的今天我们众所周知的办法,而是更曲折复杂的归纳法。

已经计算了W,接下来就是取对数了。普朗克用的stirling公式比我们教材上用的更糙,他只取到了最高级项,

即取近似N! = N^N,而不是N!=(N/e)^N, 但是也能导致正确的结果。

经简单直接的计算,普朗克得到了熵S作为能量U的函数表达式:

接下来,利用Wien的位移定律,他确定,S作为U的函数一定具有这个形式

即S对U的依赖仅仅是通过比值U/nu, 其中nu为谐振子频率。

与上面的(6)式相比,他便得出重要结论,即他的能量量子与谐振子的频率nu成正比

这里他引入了两个普适常数,即后来以他的名字命名的普朗克常数h和后来被称为波尔兹曼常数的k。注意到,他这里的谐振子能量公式不包含零点能。剩下的事情就简单直接了,他得到了他的黑体辐射公式。

在这篇标志量子力学诞生的文章里,普朗克引入了他的常数h,同时也试图定量确定其值。他得到的结果是

与今天的值6.626相比,精度还可以。

注1:普朗克的论文原文链接:https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19013090310 



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