梯形求积公式是最简单的数值积分工具。下面的程序利用积分

来计算ln2, 并研究其误差随采样点增加而减少的标度律。

很明显是平方律：

这个平方律是比较差的。我们往往需要配合Richardson插值法（也就是romberg方案 ）来获得高精度结果。

但是，在某些时候，梯形公式会有极高的精度，这时标度律会是指数律，即误差随采样点增加指数减小。比如，我们可以考虑利用下面的表达式计算整数阶的bessel函数

相关程序为

从下图可以看到，对于二阶（一型）bessel函数在0.5处的值，只需要14个采样点，就可以达到机器精度！

这背后是有原因的。这里积分是对一个周期函数作一个周期内的积分。在这种情况下，fourier理论可以用上了。积分的准确值是零分量，数值误差来自某些高阶分量。偏偏这里的被积函数又有一个很好的性质，即如果往复平面解析延拓开去，其在全平面解析。按照paley-wiener定理的精神，这种函数的傅里叶分量会指数减小。

作业： 利用梯形公式计算第一和第二型椭圆积分